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Transcripción del video

el teorema fundamental del álgebra problema fundamental pregunta mental de el álgebra álgebra qué nos dice el teorema fundamental del álgebra pues nos dice que si tenemos una función px pd x dada por un polinomio de grado n o sea algo que se ve de la forma a por x a la n más b por x a la n 1 + c por x a la enee menos dos y así hasta algún término independiente digamos que si tengo algo que se ve de esta forma entonces necesariamente voy a tener n raíces en este polinomio n raíces o dicho de otro modo voy a tener n valores de x n valores para x tales que el polinomio evaluado en esos valores me dé el número 0 y bueno quizás ustedes estén recordando por ejemplo polinomios de grado 2 polinomios de grado 2 que tienen gráficas que se ven algo así algo así que tengo mi eje y mx y no se podría hacer una parábola una parábola que se ve algo así y entonces dicen bueno ok esto es el segundo grado del segundo grado segundo grado y efectivamente corta el eje x en dos lugares tiene dos raíces tiene estos dos países dos países y quizás también se estén acordando de polinomios de grado 3 vamos allá está en el eje x y vamos a poner mi eje por aquí x y mi polinomio de grado 3 se ve algo así y continúa hacia allá y efectivamente aquí tengo una raíz dos raíces tres raíces así que tiene tres raíces e incluso podrían pensar en un polinomio de grado 4 que se ve algo así algo así y entonces aquí tengo una raíz dos raíces tres raíces cuatro raíces así que suena bastante convincente el teorema fundamental del álgebra pero pero de repente ustedes recuerdan y dicen hoy en un segundo también hay parábolas que no cortan el eje x hay para volar como esta que no lo cortan y esto es un polinomio del segundo grado de el segundo grado así que dónde están mis dos raíces dónde están las dos raíces que debería tener este polinomio pues la clave está en que el teorema fundamental del álgebra requiere que expandamos nuestro sistema numérico ya no sólo vamos a trabajar con números reales sino también con números complejos y de hecho el teorema fundamental del álgebra también nos permite que los coeficientes del polinomio sean números complejos y nos dice que siempre que tengamos un polinomio de grado n va a tener en es raíces complejas no necesariamente reales en este caso por ejemplo las raíces son números reales y los números reales son complejos así que aquí tengo mis dos raíces para este polinomio de grado 2 aquí tengo mis tres raíces y para el polinomio grado 3 y aquí tengo mis cuatro raíces para el polinomio de grado 4 y en cambio este polinomio de segundo grado que no tiene raíces reales pues resulta que va a tener dos raíces complejas dos raíces complejas complejas porque tiene que tener dos raíces así que si no tienes raíces reales sus raíces van a tener que ser complejas y por ejemplo también podríamos tener el caso de un polinomio de grado 3 cuya gráfica se vea algo así y entonces tiene una raíz real solo una raíz real pero como es el tercer grado como es el tercer grado que pasa pues tiene que tener otras dos raíces complejas y esa es la clave siempre que tengo un polinomio que tiene coeficientes reales las raíces complejas van a venir en parejas de números conjugados así que por ejemplo podría tener un un polinomio de grado 3 del tercer grado con tres raíces no reales reales complejas esto es una situación válida para un polinomio grado 3 existe es el polinomio pues no porque como vamos a ver en vídeos posteriores las raíces complejas siempre vienen en pares de números complejos conjugados si mis coeficientes son reales entonces también por ejemplo podría pensar en un polinomio de grado 4 que no tuviera raíces reales y que se viera algo así su gráfica pero no hay ningún problema porque puedo pensar que son dos parejas de números complejos conjugados ya veremos esto más adelante en los vídeos siguientes