Introducción a sistemas con tres variables

resuelve el siguiente sistema y tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas pero lo primero que te quiero contar es que cada una de estas ecuaciones representa un plano en r3 si tú ves cada una de estas ecuaciones en r3 representada como una gráfica vas a ver un plano así que déjame dibujar primero aquí en mi espacio aquí voy a tener mis tres ejes coordinados y vamos a intentar visualizar cómo se ve las soluciones de estas tres ecuaciones así que bueno déjame pensar que la primera es un plano así no funcione te tiene que ser este plano pero se ve como un plano y bueno este es un pedacito de este plano y la segunda ecuación se va a ver algo así va a ser un plano que sale por aquí bien por acá y entra por acá y la última ecuación está de aquí también va a ser un plano entonces déjame dibujar otro plano por aquí entonces va a pasar por acá se va a ir por aquí recuerda que son pedazos de plano esto se va a ir para acá para acá y aquí ya tengo mi tercer plano y bueno la solución si es que existe de estas tres ecuaciones se va a ver como un punto en r3 donde se intersectan los tres planos eso en un punto en r3 y yo sé que esto es bastante difícil de visualizar pero lo que sí quiero que veas es que no siempre un sistema de tres ecuaciones tiene solución a lo que voy es que para que los tres planos se intersectan en un punto es bastante difícil porque pueden ser dos lados paralelos un recibe puede ser que nos quede un triángulo a ver voy a intentar dibujar t ese caso fíjate bien supongamos que este sea uno de nuestros planos una de las gráficas de estas ecuaciones por aquí voy a tener a mi otro plano va a ser este de aquí y bueno esta es la gráfica de otra de estas ecuaciones y por último imagínate que yo tengo otro plano por aquí este plano que pasa por acá se va por aquí y después pasa por aquí déjenme ponerle equipo ideado y aquí está mi otro plano y si te das cuenta nos intersectan ustedes planos en un punto en este caso se forme un triángulo en nuestro sistema sería inconsistente pero bueno vamos a trabajarlo algebraica mente a ver qué nos queda de estas tres ecuaciones y bueno el truco en todo esto es eliminar a una de las variables en estas ecuaciones para que me quede en un sistema de ecuaciones con solamente dos incógnitas y si te das cuenta aquí lo más fácil de eliminar slayer porque hay una más y una menos james y una magia por lo tanto de estas dos las voy a sumar y se va a eliminar la yema si te das cuenta al sumar las de aquí se va a eliminar la yema y después voy a sumar estas dos y también se va a eliminar la y por lo tanto lo que voy a obtener es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mucho más fácil de resolver el cual siguen teniendo toda la información de estas tres incógnitas porque voy a utilizar las tres ecuaciones así que hagámoslo no voy a tomar las dos primeras ecuaciones x más bien menos 3 z igual a menos 10 y la segunda ecuación que es x menos más 12 está igual a 3 y las voy a sumar atrás lo que voy a cancelar estas dos veces así que vamos a ver que me queda y dice x mas x es 2x y en menos de esta semana se eliminan y después me quedan menos 13 está más 12 está lo cual es menos z y del otro lado me quedan menos 10 lo cuales 727 negativo perfecto ya tengo que de estas dos al tomarlas me quedo 12 x z igual a menos 7 ahora voy a trabajar con estas otras dos ecuaciones y voy a hacer lo mismo voy a sumar estas dos ecuaciones porque tengo menos llama james y de aquí se va a eliminar la ley y los va a quedar otra ecuación que va a estar solamente en términos de xy de zeta así que tengo x menos yemas 12 está igual a 3 y la otra ecuación es 2x más y menos z igual al menos 6 así que vamos a sumarlas a ver que nos queda y se va a eliminarla y porque x2 x es 3x menos yemas james se eliminan se cancelan y me queda 12 está menos zeta lo cual éste está positiva o igual a 3 menos 6 lo cual es menos 33 x maceta igual a menos tres de estas dos me queda que 3x más será igual a menos 3 y te das cuenta ya elimine la yema y aquí tengo un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y dos ecuaciones lo cual es mucho más fácil de resolver este es un problema mucho más tradicional así que déjenme decirles aquí 2x z es igual a menos 7 y por otra parte tengo que 3x maceta es igual a menos 3 y pues bueno ya que tengo usted se cuestiona después ahora vamos a resolverlas y si te das cuenta si sumo estas dos ecuaciones se va a cancelar la zeta y entonces me va a quedar algún término solamente de equis y que me va a quedar así que vamos a sumar las y me queda de este lado 2 x 3 x son 5 x z menos zetas se cancelan se van y del otro lado solamente me queda menos 7 menos tres locales menos 10 y ya de aquí puedo encontrar el valor de x porque si yo divido ambos lados entre 5 que me va a quedar 5 y 5 se van y me queda que x es igual a menos 2 menos 10 entre 5 es menos 2 y ya que tengo el valor de x entonces puedo utilizar una de estas ecuaciones para sustituir el valor de x y obtener el valor de 7 voy a poner esta x vale menos 2 y entonces me queda 2 x - 2 - z igual a menos 7 2 x menos 2 3 - 4 - z es igual a menos 7 si sumo 4 en ambos lados de la ecuación me queda que de este lado se cancelan y me queda menos z es igual a menos 74 lo cual es menos tres y si yo divido multiplicó ambos lados por menos uno me va a quedar que z es igual a tres y ya tengo también el valor de z ya tengo el valor de x ya tengo el valor de ese tanto os puedo tomar alguna de estas ecuaciones y substituir x y z para obtener el valor de jeff y no voy a tomar la primera es x que es menos dos más menos tres veces z menos tres por tres es igual a menos diez y que me queda de aquí menos dos más menos nueve menos tres por tres es menos nueve es igual a menos diez y si sumo estos dos me va a quedar menos 11 entonces tiene menos 11 es igual a menos 10 y ahora voy a sumar 11 de ambos lados de la ecuación y me queda que más 11 y más oms entonces de este lado de estos dos se van y me queda solamente james y es igual a menos 10 más 11 lo cual es uno y ya tengo el valor de x de iu y dz los cuales te dan un punto en r3 que es la solución de la intersección de estos tres planos dicho otra manera estos tres valores son la solución de este sistema de tres ecuaciones aunque lo que sería muy bueno es comprobar que en efecto sea la solución así que para esto vamos a verificar en las cuestiones que nos faltan para ver si estas también cumplen estas ecuaciones y que me va a quedar de la primera ecuación 'tengo x que es menos dos más ya que es uno menos tres veces zeta lo cual es déjame ponerlo aquí x vale menos 2 llévale 17 vale 3 para que no se nos olviden y déjame verificarlo sí sí estamos bien entonces me quedan menos dos más ye lo cual vale uno entonces menos dos más uno menos tres veces menos tres veces tres que es menos 9 es igual a menos 10 menos dos más uno es menos uno menos nueve menos diez y perfecto está si cumple así que vamos a verificar qué pasa con la segunda y me queda x que es menos 2 - ya lo cual es menos uno más dos veces z es decir más dos por tres dos por 36 entonces más 6 esto tiene que ser igual a tres y menos 2 - 1 - 3 estrés perfecto otra que se cumple así que vamos a verificar en la tercera igual la tercera no la cumple si vemos bueno también ver que si cumple la tercera y me queda dos x menos 2 lo cual es menos cuatro más pero llevarle uno entonces más uno menos z pero se está vale tres entonces va a ser menos tres esto tiene que ser igual a menos seis y vamos a ver si también cumple esta ecuación menos 3 - 3 - 4 - unos menos 3 - 3 es menos 6 perfecto ya tenemos que también cumple la tercera ecuación y ya con esto nos podemos sentir bastante seguros de que está si es la respuesta