Modelar con sistemas de desigualdades

este problema es exacto para practicar desigualdades y sistemas de desigualdades este problema me parece buenísimo realmente nos vamos a divertir con él el problema dice louis recibir una tarjeta de regalo por valor de 25 pesos de una tienda en línea dedicada a la venta de música digital y de juegos cada canción cuesta un peso y cada juego cuesta dos pesos si además él quiere comprar al menos 15 artículos con su tarjeta de regalo escribe un sistema de desigualdades que representen el problema e identifica el rango de posibles compras usando una gráfica bueno lo primero que va a hacer es definir variables es que voy a decir que sea m igual al número de canciones que puede louis comprar y bueno m por música y después voy a tomarme a gm como mi otra variable y voy a decir que gm va a ser igual a de espera espera espera de hecho me gustaría más pensar en dos variables completamente aleatorias así que voy a tomar menos en lo que se me ocurra s voy a decir que es el número de canciones que puede comprar y voy a decir que es igual al número de juegos que él puede comprar y lo primero que quiero que veas es que yo sé que la suma de s + g es decir del número de canciones más el número de juegos tiene que ser al menos 15 esto es lo que nos dice el problema él quiere comprar al menos 15 artículos con su tarjeta de regalo por lo tanto es más que tiene que ser mayor o igual que 15 el número de canciones más el número de juegos tiene que ser mayor o igual que los 15 artículos que al menos luis quiere comprar puede ser igual de 15 porque podemos comprar solamente 15 artículos pero también puede ser mayor o igual que piensa es decir puede ser 16 17 18 19 lo que sea y por otra parte el problema nos dice que louis puede gastar hasta 25 pesos que era lo que tenía la tarjeta de regalo y que cada canción cuesta un peso y que cada juego cuesta dos pesos como podemos escribir una desigualdad con esto bueno vamos a escribir primero lo que está gastando louis lo que gasta louis es la cantidad de canciones que él va a comprar por uno porque un peso al de cada una de estas canciones más dos veces la cantidad de juegos que va a comprar y este 2 sale porque cada uno de los juegos vale 2 pesos así que si por ejemplo nosotros tenemos que louis compras cinco juegos y cuatro canciones entonces tendríamos 2 por 5 10 + 4 son 14 pesos el gastaría 14 pesos y bueno estoy remitiendo el uno al lado de la s porque recuerda que multiplicar por 1 es dejar las cosas tal cual aunque cada canción vale un peso y bueno lo que gasta tiene que ser menor o igual que 25 pesos el pueda gastar 25 pesos pero no se puede pasar de 25 pesos porque es lo que tiene en su tarjeta de regalo y ya que tenemos este sistema de desigualdades ahora vamos a graficar este sistema de desigualdades así que para esto déjame aquí graficar dos ejes y ahorita vamos a tomar la decisión de que está en cada uno de los ejes y por cierto solamente voy a graficar el primer cuadrante es decir donde ese eje son positivos este base del eje de las ss este es va a ser el eje de las que es porque solamente tienen sentido comprar un número de juegos y de canciones positivos y bueno para graficar este desigualdades lo primero que me tengo que fijar es en las líneas límite o dicho de otra manera en los bordes y para esto lo que puedes escribir estas desigualdades en su forma pendiente orden al origen y para esto voy a despejar a mi variable s de la primera tengo que s es mayor o igual que menos que más 15 menos que más 15 y bueno de la segunda tengo y mejor déjame ponerlo con color magenta de la segunda voy a tener si despejó a ese que éste va a ser menor o igual que menos 2 g más 25 ese va a ser menor o igual que menos dos que más 25 y bueno esto lo estoy haciendo porque yo puedo asociar una ecuación de la recta a cada una de estas desigualdades para encontrar mi borde mi frontera de esta desigualdad así que empecemos con la primera si de ésta yo tomo una ecuación de la recta asociada a esta misma desigualdad que me voy a encontrar bueno que éste va a ser igual a menos gm más 15 éste va a ser igual a menos g más 15 y qué pasa con esta recta si te das cuenta corta al eje de las heces en el valor de 15 entonces tenemos el 5 y el 10 el 15 y por aquí pasan mi recta y después si yo quisiera hacer ese igual a 0 entonces obtendría que menos que más 15 es igual a 0 y si t aquí despejó a g no quedaría kg es igual a 15 que es igual a 15 y por lo tanto corta elegirlas que es también en el valor de 15 así que vamos a ponerlo por acá aquí voy a tener el valor de 5 por aquí por aquí me voy a tomar el valor de 10 aquí el de 15 y por aquí también pasa mi recta y ahora si uno de los dos puntos y como tengo un mayor igual puedo dibujar una recta sólida es decir en lugar de una recta punteada voy a dibujar una recta sólida porque todo esto también es parte de mi solución y si te das cuenta lo que tengo es ese más que mayor o igual que piense en la desigualdad original por lo tanto me voy a fijar en todo lo que está arriba de esta recta todo lo que está arriba de esta recta cumple esta desigualdad cualquier punto cuyas coordenadas sean de la forma que coma ese que cumpla esta desigualdad tiene que tocar o esta línea recta o tiene que estar arriba de estas rectas de mi frontera tanto déjenme colorearlo también de verde todo lo que esté arriba de esta recta va a cumplir esta desigualdad y tú lo puedes verificar por ejemplo si tomamos el 0 0 el 0 0 pues eso no va a ser mayor o igual que 15 por lo tanto no lo cumplen no está en esta parte y si tomamos un punto aquí por ejemplo el 15,15 15 + 15 30 lo cual es mayor o igual que 15 por lo tanto si cumplen esta desigualdad y si te das cuenta son todos estos puntos aquí ahora vamos a fijarnos qué es lo que tenemos con nuestra segunda desigualdad si nosotros buscamos el límite o la frontera tendríamos que s es igual a menos dos que más 25 y de igual manera sigue vale 0 entonces el cev al de 25 así que aquí vamos a tener 20 aquí el 25 y por aquí justo por aquí pasa mi recta ahora por otra parte si ese vale cero entonces me va a quedar que cero es igual a menos dos que más 25 y si yo paso es del otro lado sumando me queda que 2 que es igual a 25 y de aquí dividiendo entre 2 me queda que gm es igual a 25 entre 2 lo cual es 12.5 12.5 o dos enteros un medio y eso está como por aquí cortamos al eje justo aquí aquí tenemos al 12.5 bueno creo que no de hecho creo que es justo la mitad esta sería mi mitad y justo por aquí pasa mi frontera y si te das cuenta en frontera también es salida porque tenemos un menor o igual por lo tanto vamos a dibujar a que me frontera ya tengo mi frontera o mil bordes de todo el conjunto solución de esta desigualdad y ahora tanto cuenta que tenemos en esta desigualdad ese menor o igual que menos dos gemas 25 en la desigualdad de original teníamos que s más 2 que es menor o igual que 25 por lo tanto todos los que están aquí abajo todos los que están abajo de esta frontera son parte de mi solución y de igual manera tú lo puedes verificar si tomamos por ejemplo un punto adentro de un punto fuera vamos a ver qué es lo que sucede el 0 0 esto claro que se cumple porque 0 es menor o igual que 25 y si tomamos ahora el 15,15 15 más 2 por 15 es último que tres veces 15 lo cual es 45 y 45 no es menor o igual que 25 por lo tanto estamos bien ahora el conjunto solución que cumple simultáneamente ambas desigualdades es donde se traslapan estos dos colores es decir donde tenemos en esta gráfica de aquí una combinación de los dos colores del verde y del agente y si te das cuenta es justo esta parte de aquí esta parte de aquí es donde se traslapan estos dos colores y no solamente esta parte también las fronteras porque en ambas desigualdades son desigualdades amplias por lo tanto también tocamos estos bordes de aquí y más aún ya podemos construir en este problema que cualquier combinación de canciones y de juegos que tomemos en esta región de aquí va a cumplir ambas desigualdades simultáneamente