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Curso: Algebra II - Preparación Educación Superior > Unidad 3

Lección 4: Dominio y rango de funciones cuadráticas
Matemáticas
Algebra II - Preparación Educación Superior
Función cuadrática y parábolas
Dominio y rango de funciones cuadráticas
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Rango de funciones cuadráticas

Google Classroom
Aprende a determinar el rango de cualquier función cuadrática a partir de su forma canónica.
En este artículo, aprenderemos cómo encontrar el rango de funciones cuadráticas.
En otras palabras, aprenderemos cómo determinar el conjunto de todos los valores posibles de salida de una función cuadrática dada.

Estudiemos un problema de ejemplo

Queremos encontrar el rango de la función f(x)=−2(x+3)2+7.
En este artículo, así como hemos utilizado la letra x para referirnos a los valores de entrada, usaremos la letra y para referirnos a los valores de salida. Por ejemplo, y=7 es el valor de salida de f para el valor de entrada x=−3 (esta es tan solo otra forma de decir f(−3)=7).
Encontrar el rango de una función solo viendo su formula, ¡es muy difícil! De hecho, ¡ni siquiera es fácil saber si un solo valor es un valor de salida posible!
Por ejemplo, ¿es y=9 un valor de salida posible para f?
Para poder responder la pregunta, necesitamos sustituir la fórmula de f en f(x)=9 y resolver la igualdad. Si encontramos una solución, entonces y=9 es un valor posible de salida. De otro modo, no lo es.
Sin embargo, no podemos comprobar esto para todos los valores de salida posibles, pues ¡son infinitos!. En este artículo veremos dos métodos posibles de solución, para evitar este problema.

Método de solución 1: el enfoque gráfico

Resulta que las gráficas son muy útiles para estudiar el rango de una función. Afortunadamente, tenemos la habilidad para graficar funciones cuadráticas.
He aquí la gráfica de y=f(x).
Ahora es claramente visible que y=9 no es un valor de salida posible, pues la gráfica nunca interseca la recta y=9.
Realicemos comprobaciones similares para otros pocos valores de y.
Pregunta 1Pregunta 2
¿Es y=−5 un valor de salida posible para f?
Escoge 1 respuesta:

¿Es y=−50 un valor de salida posible para f?
Escoge 1 respuesta:

Hemos visto cómo comprobar si un valor dado es un valor de salida posible, utilizando una gráfica. ¡De hecho una gráfica nos puede indicar todo el rango de valores de salida posibles!
Por ejemplo, la gráfica de y=f(x) nos muestra que 7 (la coordenada y del vértice) es el máximo y, de los valores de salida de la función. Más aún, como la parábola abre hacia abajo, cada valor de y abajo de 7 es también un valor posible de salida.
En otras palabras, el rango de f está compuesto de todos los valores de y menores o iguales a 7. ¡Eso es todo! Matemáticamente, podemos escribir el rango de f como {y∈R | y≤7}.

¡Tu turno!

Considera la función g(x)=(x−4)2−5 que se grafica a continuación.
¿Cuál es el rango de g ?
Escoge 1 respuesta:

Método de solución 2: el enfoque algebraico

A estas alturas, ¡y con mucha razón!, te estarás preguntando: "¿Tengo que dibujar la gráfica siempre que quiera encontrar el rango?". La flojera es una gran motivación para encontrar mejores maneras de resolver problemas.
Pensemos sobre el trabajo que hicimos anteriormente y busquemos un patrón.
Nuestra primera función, f(x)=−2(x+3)2+7, es una parábola que abre hacia abajo y cuyo vértice está en y=7. Como consecuencia, su rango está compuesto por todos los valores de y menores o iguales a 7.
Nuestra segunda función, g(x)=(x−4)2−5, es una parábola que abre hacia arriba y cuyo vértice está en y=−5. Como consecuencia, su rango está compuesto por todos los valores de y mayores o iguales a −5.
Resulta que para determinar el rango de una función cuadrática, todo lo que necesitamos saber es la coordenada y del vértice de su gráfica, y si abre hacia arriba o hacia abajo.
Esto es fácil de determinar a partir de la forma canónica de una ecuación cuadrática, y=a(x−h)2+k. En esta forma la parábola tiene su vértice en y=k, y abre hacia arriba cuando a>0, y hacia abajo cuando a<0.

Tu turno

Usa lo que has aprendido para encontrar el rango de h(x)=12(x−3)2+2.
{y∈R|
}

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