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Problema verbal de cuadráticas: mosquitos

Analizamos las condiciones para el mayor número posible de mosquitos en la ciudad de Nueva York, que está dado como una función cuadrática.

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Transcripción del video

vamos a tratar de resolver el siguiente ejercicio y dice el número de mosquitos en millones y lo están denotando con la letra m entonces la letra m dice el número de millones de mosquitos que hay en brooklyn nueva york depende de los centímetros de lluvia en junio y los centímetros de lluvia en junio los están denotando con la letra r dice y puede modelar se con la función m igual a menos r por r menos 4 muy bien entonces el número de mosquitos depende del de los centímetros de lluvia y está dependiendo de esta forma verdad - r por r menos 4 dice bueno por supuesto hay que resolver algunas preguntas y yo te invito a a ver si puedes inspirarte y ver si puedes resolver estas preguntas por tu cuenta muy bien como siempre si no vamos a hacerlo nosotros juntos la primera dice a partir de cuántos centímetros de lluvia habrá una población de 0 millones de mosquitos bien quizás parece para la pregunta pero bueno es una pregunta válida digamos a mí me sirve reescribir la función tenemos igual a menos r que multiplica a r - 4 muy bien entonces la pregunta es cuándo o para qué valores de r vamos a tener que m es igual a cero porque entonces vamos a tener cero creo que debería dejar el otro color tendremos cero igual a menos r por r menos 4 muy bien entonces la pregunta es que para qué valores de r esta ecuación tiene sentido y realmente lo que tenemos que analizar es lo siguiente tenemos un producto de dos números podríamos pensar en este número que es menos cr y podríamos pensar en este otro número que es de menos 4 que dejen déjenme hacerlo con otro color que es r menos cuatro muy bien entonces si tenemos un producto de dos números que nos da cero eso quiere decir que alguno de ellos tenía que ser cero verdad entonces quiere decir que menos r era cero o bien quiere decir que r - 40 muy bien vamos a ver qué pasa en el primer caso pues si menos r es igual a cero podemos multiplicar por menos uno de ambos lados y vamos a obtener que r es igual a cero o bien si tenemos el otro caso podemos sumar cuatro de ambos lados y tendremos que r es igual a cuatro muy bien entonces podemos pensar en la interpretación de este problema si es que está muy bien modelado verdad si no tenemos lluvia quiere decir que hay cero mosquitos verdad 60 centímetros de lluvia quiere decir que hay 0 millones de mosquitos y eso tiene sentido a lo mejor no hay dónde puede desarrollarse la población no pueden no se alimentarse de algo que se desarrolle en la lluvia o qué sé yo muy bien sin embargo nos dice que cuando tenemos 4 centímetros de lluvia pues no sé a lo mejor es demasiada lluvia a lo mejor se ahoga a lo mejor su vida se vuelve difícil cuando hay tanta lluvia de agua a lo mejor la lluvia arrastra los mosquitos y se los llevan no no lo sé realmente el punto es que con mucha lluvia los mosquitos no pueden sobrevivir y entonces hay cero millones de mosquitos muy bien ahora podríamos pasar a la siguiente a la siguiente pregunta dice cuál es el número máximo posible de mosquitos muy bien y esta respuesta la podemos resolver fácilmente observando lo siguiente esta función que nos describe el número de millones de mosquitos es una función cuadrática verdad aquí podríamos ver de hecho lo hacer rápidamente esto es menos erre por r es menos ere cuadrada y menos r por menos 4 es más 4 r entonces si te das cuenta esto es una función cuadrática entonces se ve más o menos como una parábola de hecho se ve exactamente una parábola verdad puede tener la siguiente forma puede tener la forma digamos puede ser así en el caso en este caso tendrá un valor máximo o puede verse de esta forma en cuyo caso tendrá un valor mínimo si no se está preguntando cuál es el número máximo posible de mosquitos esperaríamos que tenga la forma de la izquierda y eso está muy bien justamente porque tenemos este signo menos digamos acompañando a la erre verdad y entonces lo que voy a hacer en este momento es reescribir esta función digamos en la forma de vértice para las parábolas y por supuesto si a lo mejor esto no tiene mucho sentido para ti pues te invito a que vean los vídeos que tenemos aquí en cana que a demi de cómo pasar a la forma de vértice para las parábolas muy bien si tú recuerdas o si ya has visto el vídeo podrás recordar que la forma de vértice es de la forma m igual a una constante por un binomio al cuadrado r - b al cuadrado otra constante muy bien esta es la forma de vértice verdad y que es bastante útil para ver dónde se encuentran el mínimo y el máximo ok entonces ahora lo que vamos a hacer es completar el trinomio cuadrado perfecto y nuevamente si a lo mejor sientes que te estoy hablando en un idioma muy extraño pues te invito a que veas el vídeo de cómo completar trinomios y bueno de paso ver el vídeo de la forma de vértice para las parábolas muy bien entonces vamos a completar el trinomio ok entonces tenemos nuestra expresión para m m es igual la voy a dejar este signo menos fuera y tenemos r por r que es re cuadrada y ere x menos 4 que es menos 4 r muy bien entonces lo que vamos a hacer es sumar alguna constante ok vamos a sumar alguna constante para que esto se quede como un trinomio cuadrado perfecto ahora bien esa constante si viste los vídeos es tomamos este coeficiente que es menos 4 lo dividimos entre 2 - 2 y lo elevamos al cuadrado al elevarlo al cuadrado nos da 4 y es lo que hay que sumar para obtener el trinomio cuadrado perfecto y por supuesto tú dirás oye pero si sumas te 4 pues eso ya te cambia la igualdad verdad o no no puedes estar agregando con números y ya tenemos que quitar lo que hemos agregado entonces a lo mejor tú estarías no sé tentado a decir bueno si agregamos 4 pues hay que restar 4 pero hay que tener mucho cuidado este 4 lo agregamos dentro de este paréntesis y el paréntesis está x menos así que en realidad de este lado tenemos un -4 verdad si queremos que la igualdad se conserven nosotros no podemos restar 4 sino sumar 4 verdad para que no haya afectado en nada la expresión entonces en realidad así nos queda muy bien ya hemos sumado 4 y restado 4 y esta expresión que tenemos del lado y digamos en este paréntesis no es otra cosa más r - 2 al cuadrado muy bien ahora tenemos aquí el signo menos y además estamos sumando 4 muy bien así que ya tenemos la función digamos expresado en su forma de vértice ahora lo que nos falta es hacer un análisis y el análisis es muy sencillo veamos esta parte que tenemos aquí con el signo menos y el paréntesis y elevado al cuadrado todo esto justamente siempre va a ser menor o igual que 0 verdad cualquier cosa elevada al cuadrado es mayor o igual que 0 pero x menos es menor o igual que 0 y después estamos sumando 4 que es una constante entonces si nos ponemos a pensar cuándo va a ser el valor máximo pues quiere decir cuando esto sea cero verdad es decir que le estamos quitando lo menos posible y cuando le quitamos lo menos posible es cuando vale cero muy bien entonces nos preguntamos cuándo vale estos 0 pues es justamente cuando menos r - 2 al cuadrado es 0 verdad y eso pasa cuando ere menos dos vale cero y r menos dos vale cero si r es igual a dos muy bien ahora podemos resolver ya la la segunda pregunta cuál es el número máximo posible de mosquitos el número máximo posible de mosquitos es cuando esta cuestión vale cero y eso nos dice que m es igual a 4 entonces el valor máximo posible de mosquitos es 4 millones 4 millones muy bien a partir de cuántos centímetros de lluvia ocurrirá el máximo número de mosquitos bueno eso es justamente lo que acabamos de encontrar es cuando r es igual a 2 es decir la respuesta es 2 centímetros de lluvia muy bien entonces ahí en cuando tenemos dos centímetros de lluvia alcanza su máximo después puede ser que el aaiún estoy llevando a los mosquitos a lo mejor no sé o se están ahogando verdad y se ahogan hasta cuando tenemos 4 centímetros cuando tenemos 4 centímetros ya no hay mosquitos y después quizás el modelo ya no tiene sentido porque tendríamos una cantidad negativa de millones de mosquitos y eso no tiene nada de sentido así que realmente el análisis importante es cuando el número de o más bien cuando cuando los centímetros de lluvia se encuentran entre 0 y 4 muy bien entonces aquí con esto terminamos el ejercicio espero que te haya parecido interesante