Ceros de polinomios (con factorización): factor común

nos dan este polinomio px que es un polinomio de tercer grado y nos dicen gráfica todos los ceros intersección en x del polinomio en la gráfica interactiva y aunque dice gráfica interactiva esta es una imagen de pantalla del ejercicio en khan academy donde pueden hacer clic y colocar los puntos donde están los ceros lo importante aquí es darnos cuenta de cuáles son los valores de x que hacen que p de x sea igual a 0 ya que esos eran los ceros y después podemos graficar los pausa en el vídeo y vean si pueden resolverlo el punto clave aquí es tratar de factorizar esta expresión de aquí que es una expresión de tercer grado queremos encontrar aquellos valores de x que hacen que 5 x a la tercera más 5 x cuadrada menos 30 x sea igual a 0 la forma en la que hacemos esto es factor izando el lado izquierdo de esta expresión lo primero que busco es un factor común a todos estos términos y parece que todos los términos pueden dividirse entre 5x esto es 5 x x quitamos 5 x 5 x a la tercera lo que nos da x cuadrada quitamos 5 x a 5 x cuadrada y nos queda x y finalmente quitamos 5 x a menos 30 x lo que da menos 6 todo esto igual a 0 y ahora tenemos 5 x que multiplica esta expresión de segundo grado y para factorizar aún más pensemos en que par de números al sumar se dan 1 podemos ver esto como 1 x y su producto es menos 6 veamos pues 3 negativo y 2 positivo pueden ser reescribimos esto como 5x por x + 3 por x 2 y si lo que acabo de hacer no les parece familiar los invito a que revisen la factorización de cuadráticas en khan academy todo esto va a ser igual a cero ahora sí si queremos conocer qué valores de x hacen que toda esta expresión sea igual a 0 son los valores de x que hacen que sí x sea igual a 0 porque si 5 x 600 x cualquier cosa va a ser igual a cero qué valor hace que 5x sea igual a cero pues si dividimos a ambos lados entre 5 nos da que x es igual a 0 así que cuando x es igual a 0 todo esto es 0 y no importa que tengamos aquí al multiplicarse por 0 todo será igual a 0 y cuál sería el valor de x que hace que x 3 sea igual a 0 restamos 3 en ambos lados y queda x igual a menos 3 el otro valor de x es aquel que hace que x2 sea igual a 0 sumamos 2 en ambos lados y queda x igual a 2 y aquí lo tenemos hemos identificado tres valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero estos son los ceros y las intersecciones en x tenemos una en x igual a cero tenemos otra en x igual a menos 3 y tenemos otra en x igualados con esto respondimos lo que nos piden aquí en cana de mí solo tienen que hacer clic en estos tres puntos pero la razón por la que esto es útil es porque nos ayuda a darnos una idea de cómo será la gráfica del polinomio ya que la gráfica tiene que interceptar al eje x en estos puntos la gráfica puede verse algo así o puede verse algo así y para saber exactamente cómo es que luce la gráfica tenemos que calcular unos cuantos valores más de x entre estas intersecciones en x para darnos una idea general de la gráfica