¿Qué es el dominio de una función?

tengamos un breve resumen de lo que es una función antes de que hablemos de lo que es el dominio de una función y de hecho lo podemos ver de la siguiente forma pensemos que a lo mejor nuestra función está no sé representado por una caja y en esta caja nosotros podemos meter algunas entradas algunos valores de entrada lo que va a hacer esta caja es producir nos algunos valores de salida verdad o alguna regla de cómo es que va a trabajar con esa con esas entradas y nos va a producir algún resultado por ejemplo veamos el siguiente ejemplo qué tal que tenemos la función f x igual a 2 entre x muy bien entonces vamos a ver qué pasaría con un ejemplo particular digamos que aquí tenemos nuestra caja que representa la función f y nosotros le introducimos el valor de 3 este es el valor digamos de entrada esto por supuesto nos produce un valor de salida que sería efe de 3 verdad así que cuánto vale efe de 3 sería aquí nos dice justamente cómo operar con el valor 3 nos dice a 3 tiene que dividir al número 2 verdad el número 3 tienen que dividir al número 2 entonces el valor de salida sería 2 entre 3 verdad y podríamos pensar no sé cualquier otro valor raro por ejemplo podríamos poner el valor que no se podríamos poner aquí el valor pi que va a entrar a nuestra caja a nuestra caja de la función f y el resultado tendría que ser fdp verdad pero quién sería fdp efe de pis sería simplemente tomar 2 y dividirlo entre pi eso sería nuestro valor de salida ahora vamos a intentar algo más interesante qué pasaría si en nuestra caja efe le intentamos dar el valor 0 muy bien entonces según nuestra regla que tenemos aquí al valor 0 tendríamos que operarlo de la siguiente forma tendríamos tener dos y dividirlo entre cero sin embargo esta es una expresión matemática que no está definida verdad no está definida y por lo tanto no podemos decir cuál es el valor que nos arroja verdad así que en realidad en realidad el valor cero no tiene una un valor de salida ha definido verdad está indefinido así que esto es lo que nos da la idea de que es un dominio de una función el dominio es el conjunto de todas las digamos de todos los valores de entrada o de todas las entradas para los que la función está definida por ejemplo en este caso la función está definido para cualquier número real excepto una verdad excepto el cero porque todos los números los podemos dividir excepto por el mismo no podemos dividir entre el número cero verdad es lo que ocurre vamos a escribir eso el dominio de una función dominio de un función y justo lo que dije hace unos momentos es el es el conjunto es el conjunto de todas las entradas de todas las entradas o de todos los valores de entrada vamos a escribirlo así de todas las entradas sobre las que digamos sobre las sobre las que la función tiene salidas definidas sobre las que la función tiene salidas definidas tiene salidas definidas definidas muy bien por ejemplo en el caso que teníamos anteriormente no teníamos una salida definida para el valor cero verdad por lo tanto el cero no está en el dominio de esta función muy bien así que esto lo podríamos incluso escribir verdad el dominio de esta función que que trabajamos con color rosa el dominio es un conjunto verdad y usamos el digamos esta expresión matemática que es una llave es una llave para representar un conjunto verdad es el conjunto de todos los equis que son elementos este símbolo significa que x es un elemento de qué conjunto pues el conjunto de los números reales y así es como denotamos a los números reales como una r mayúscula con una barrita aquí verdad sería como una r y le ponemos una barrita extra del lado izquierdo entonces tenemos que ponerle restricciones a estos como a este conjunto verdad no sólo son todos los reales sino que además esos valores tienen que ser de cero no pueden ser cero porque el cero no tiene una salida definida verdad entonces por ejemplo podríamos intentar no se ha definido otra función vamos vamos a hacer otro ejemplo hagamos otro ejemplo justamente para que sea mucho más claro qué pasa si nosotros tenemos la función g de iu y además no no siempre tiene que ser efe si x verdad puede ser que la función y los valores de entrada lo representamos con la letra i y digamos que g de iu es la raíz cuadrada de ye menos seis muy bien entonces nosotros tenemos nuevamente nuestra representación de la cajita que tiene a la función g y vamos a introducir valores de entrada que van a ser yes verdad y esto nos produce una salida que es gd y muy bien entonces nos preguntamos cuál es el dominio de esta función y la función si nos damos cuenta bueno está definido por una raíz cuadrada este operador matemático que representa la raíz cuadrada y de hecho es es la raíz principal verdad podríamos tomar positivo o negativo pero cuando no lo indicamos es positivo sin embargo para poder tomar la raíz la raíz cuadrada de un número este número tiene que ser mayor o igual que 0 verdad no lo podemos encontrar raíces de números negativos así que necesitamos que esta expresión que tenemos dentro de -6 sea mayor o igual que 0 entonces menos 6 tiene que ser mayor o igual que 0 o si sumamos 6 de ambos lados que tiene que ser mayor o igual que 6 verdad entonces esto me está diciendo que el dominio de la función que es el conjunto de todos los valores reales los yes que son números reales tales que tales que ya es mayor o igual que 6 verdad entonces este es el dominio de la y espero que esto empiece a cobrar sentido esto es digamos una todos estos dos ejemplos que hemos puesto son formas clásicas de cómo están definidas las funciones pero también puede tomar formas mucho más exóticas por ejemplo qué pasaría si si si definimos la siguiente función digamos qué hdx pueda tomar dos valores digamos que sea 1 si x es igual a no sea pi o 0 si nos x es igual a 3 y h es nuestra función y lo que tiene ahora es una expresión mucho más rara verdad así que te invito a que pienses cuál es el dominio trata de hacerlo tú solo ahora sí si nos damos cuenta sólo hay dos valores de entrada verdad sólo podríamos tomar el valor [ __ ] [ __ ] verdad y el valor de hdmi quizás deberías mejor pi pi cuál es el valor que toma la función al introducir pi como entrada bueno nos dice que si si la entrada es para entonces la función vale 1 y por ejemplo si h si evaluamos h en el valor de entrada 3 esto nos dice que si la entrada es 3 el valor de h es 0 muy bien y esto nos dice que por ejemplo si nosotros intentamos evaluar h en 4 bueno pues en realidad aquí no nos dicen nada de cómo operar con el valor de entrada 4 verdad entonces esto está indefinido 4 no pertenece al dominio de la función entonces con esto concluimos que el dominio de esta función h el conjunto que tiene dos elementos de verdad tiene al tres y tiene a pi son los únicos elementos de este dominio son los únicos valores sobre los que está definida la función así que espero esto te te deum un sabor de por qué es importante conocer el dominio de una función no todas las funciones están definidas sobre todos los números reales algunos por ejemplo estarán definidos sobre un conjunto pequeño como esta función o quizás estén solo definidos sobre los números naturales o sobre los números enteros quizás sólo estén definidos para los números negativos o quizás tengan algunas excepciones y bueno todo esto lo seguiremos viendo a medida que veamos más y más ejemplos