Introducción a las gráficas de funciones de valor absoluto

pensemos ahora un poco sobre las gráficas del valor absoluto de funciones he definido un aquí es fx es igual a menos 3 que multiplica al valor absoluto de x menos uno más 9 ok y vamos a restringir su dominio vamos a definirlo para los valores x que se encuentran entre menos 4 y 5 muy bien entonces te invito a que hagas una pausa y que trates de ver cómo se graficar y a esta función en el plano coordinado y por supuesto puedes pensar en darle valores a la gráfica o más bien darle valores a la función para ir obteniendo puntos sobre la gráfica pero sería mucho más importante que pienses en su estructura por ejemplo donde se encuentran los máximos que forman tienen entonces para ir trabajando en este ejemplo no tenemos que esta parte de aquí que está en el valor absoluto o bueno este valor absoluto es siempre mayor o igual que 0 es decir es no negativo y cuando decimos no negativo quiere decir que puede ser 0 o algo positivo muy bien sin embargo en realidad estamos multiplicando por un menos 3 y ese menos 3 es algo negativo así que en conjunto todo esto va a ser menor o igual que 0 y eso quiere decir que es no positivo muy bien toda esta parte es no positivo y después le sumamos 9 ahora bien como podríamos encontrar el máximo de esta función si nos fijamos el 9 es fijo bueno el 9 el 9 no se mueve y finalmente para encontrar el máximo pues tenemos que restarle lo menos posible entonces quizás sería buena idea buscar en qué puntos de esta función esto se hace cero para que no le restemos no le restemos a este 9 entonces la forma de encontrar los valores para los cuales esto se hace 0 es viendo cuando el valor absoluto de x menos uno es igual a cero verdad porque estamos multiplicando por menos 3 así que esto sería 0 si esta parte de dentro del valor absoluto lo es y sabemos que el valor absoluto es cero si sólo si lo que está dentro del valor absoluto que es x menos 1 vale 0 o lo que es lo mismo que x es igual a 1 si sumamos uno de ambos lados entonces ya vimos que en el 1 este este digamos este término vale 0 y si le sumamos 9 entonces estamos en este punto de aquí es decir el punto 19 es nuestro máximo y sabemos además que los valores absolutos digamos de expresiones lineales se ven de esta forma se ven de esta forma cuando el coeficiente que antecede al valor absoluto es positivo y como ese no es nuestro caso entonces se verá de esta forma es la forma que tendrá nuestra función o la gráfica de nuestra función muy bien ya más o menos puedes intuir cómo se va a ir viendo para ello vamos a ir escribiendo esta función en dos pedazos por ejemplo qué pasa si la x es mayor o igual que 1 pero menor o igual que 5 o bien que esté por abajo del 1 es decir que x sea menor o igual que 1 pero tiene que ser mayor o igual que menos 4 muy bien entonces vamos a vamos a ver si x es mayor o igual que 1 el valor absoluto de x menos 1 es mayor o igual que 0 así que se queda exactamente igual verdad x menos 1 - 3 x x menos uno 9 de hecho vamos vamos a reescribir lo mejor vamos a distribuir este producto tendremos menos 3 por x menos uno más 9 esto es menos 13 x + 3 9 y esto es menos 3 x más 12 muy bien entonces en esta parte de 1 a 5 de hecho lo podemos ver aquí entre 1 y 5 vamos a tener que la función obedece la siguiente regla menos 13 x más 12 muy bien y lo importante de aquí es que podemos ver podemos ver podemos ver que es una pendiente negativa de valor 3 del valor menos 3 entonces quiere decir que por cada uno un cuadro que nos movemos a la derecha tenemos que bajar tenemos que bajar 3 muy bien nos movemos uno a la derecha bajamos 3 1 a la derecha bajamos 3 1 la derecha bajamos 3 entonces esto se verá como una línea de este estilo con pendiente negativa igual a 3 muy bien ahí lo tienen más o menos así se ve la gráfica digamos de este lado ahora pensemos qué ocurre si estamos entre menos no no es menos 5 es menos 4 y 1 ok en este caso pues sera perdón será una pendiente positiva muy bien de hecho cuando tenemos x menor o igual que 1 el valor absoluto de x menos 1 pues será igual a menos x menos uno verdad porque en ese caso x menos 1 es negativo y el valor absoluto debe ser debe ser mayor o igual que 0 entonces esto simplemente nos queda 1 x de ahí que nuestra función fx sea igual a menos 3 por el valor absoluto de x menos uno que es 1 - x + 9 y esto es menos tres más 3x esto es distribuyendo el producto más 9 entonces tenemos 3x y 9 menos 3 son 6 así que en este lado la función se ve como 3x + 6 quiere decir que tenemos una pendiente positiva es decir por cada uno que nos movemos a la derecha subimos 3 o si lo vemos al revés por cada uno que nos movemos a la izquierda bajamos 3 muy bien para partir de este vértice entonces si estamos aquí 1 a la izquierda y bajamos 3 uno a la izquierda y bajamos 3 1 a la izquierda y bajamos 3 1 a la izquierda y bajamos 3 y aquí ya hemos bajado bastante verdad aquí está muy bien entonces la gráfica de nuestra función es justo una recta de pendiente 3 y que de hecho aquí se ve que pasa por el 6 de verdad muy bien entonces ahí tienen ustedes la gráfica de nuestra función f x aquí realmente logramos obtener esta gráfica simplemente haciendo un análisis de nuestra función y fue un análisis muy detallado uno podría a lo mejor ir tomando valores distintos de x para ir graficando puntos sin embargo aquí lo hicimos completo el análisis una moraleja de esto es analizar los puntos o qué bueno que es una buena estrategia encontrar dónde está el máximo o el mínimo del valor absoluto para poder encontrar digamos el vértice de esta gráfica a partir de ello todo es muchísimo más sencillo si lo partimos digamos dos pedazos en donde podemos analizar muy bien cómo se ve la gráfica entonces bien pudiste haber tomado valores para ir graficando esta función sin embargo ahora hicimos un verdadero y profundo análisis de la función para entenderlo mejor yo creo que así es como lo veo yo que es mucho mejor y de hecho es mucho más emocionante entenderlo como desde una perspectiva analítica a simplemente ir graficando puntos nos da una mejor lección