Aprende a factorizar un factor común de una expresión polinomial. Por ejemplo, factoriza 6x²+10x como 2x(3x+5).

Con lo que deberías de estar familiarizado antes de esta lección

El MCD (máximo común divisor) de dos o más monomios es el producto de todos sus factores primos comunes. Por ejemplo, el MCD de 6x6x y 4x24x^2 es 2x2x.
Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro articulo sobre máximos comunes divisores de monomios.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a sacar factores comunes de polinomios.

La propiedad distributiva: a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

Para entender cómo sacar factores comunes, debemos entender la propiedad distributiva.
Por ejemplo, podemos usar la propiedad distributiva para encontrar el producto de 3x23x^2 y 4x+34x+3 como se muestra a continuación:
Observa que cada término en el binomio se multiplicó por un factor común de 3x2\tealD{3x^2}.
Sin embargo, como la propiedad distributiva es una igualdad, ¡el opuesto de este proceso también es correcto!
Si comenzamos con 3x2(4x)+3x2(3)3x^2(4x)+3x^2(3), podemos usar la propiedad distributiva para factorizar 3x2\tealD{3x^2} y obtener 3x2(4x+3)3x^2(4x+3).
La expresión resultante está en forma factorizada porque está escrita como un producto de dos polinomios, mientras que la expresión original es una suma de dos términos.

Comprueba tu comprensión

1) Escribe 2x(3x)+2x(5)2x(3x)+2x(5) en forma factorizada.
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Podemos usar la propiedad distributiva para escribir 2x(3x)+2x(5)2x(3x)+2x(5) en forma factorizada.
Aunque es cierto que 2x(3x)+2x(5)=6x2+10x2x(3x)+2x(5)=6x^2+10x (obtuvimos esto al multiplicar los factores en cada uno de los términos), la expresión 6x2+10x6x^2+10x no está factorizada.
En conclusión, la forma factorizada de 2x(3x)+2x(5)2x(3x)+2x(5) es 2x(3x+5)2x(3x+5).

Factorizar el máximo común divisor (MCD)

Para factorizar el MCD del polinomio, haz lo siguiente:
  1. Encuentra el MCD de todos los términos en el polinomio.
  2. Expresa cada término como un producto del MCD y otro factor.
  3. Usa la propiedad distributiva para factorizar el MCD.
Vamos a factorizar el MCD de 2x36x22x^3-6x^2.
Paso 1: encuentra el MCD
  • 2x3=2xxx2x^3=\maroonD2\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x
  • 6x2=23xx6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}
Así que el MCD de 2x36x22x^3-6x^2 es 2xx=2x2\maroonD2 \cdot \goldD x \cdot \goldD x=\tealD{2x^2}.
Paso 2: expresa cada término como un producto de 2x2\tealD{2x^2} y otro factor.
  • 2x3=(2x2)(x)2x^3=(\tealD{2x^2})({x})
  • 6x2=(2x2)(3)6x^2=(\tealD{2x^2})({3})
Podemos encontrar el factor que falta dividiendo cada término entre el máximo común divisor (2x2)(\tealD{2x^2}).
  • El primero es 2x32x2=x\dfrac{2x^3}{\tealD{2x^2}}={x}.
  • El segundo término es 6x22x2=3\dfrac{6x^2}{\tealD{2x^2}}=3.
Observa que estas expresiones se componen de los factores restantes en cada monomio:
  • 2x3=2xxx2x^3=\maroonD2\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x
  • 6x2=23xx6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}
Así que el polinomio se puede escribir como 2x36x2=(2x2)(x)(2x2)(3)2x^3-6x^2=(\tealD{2x^2})( x)-(\tealD{2x^2}) ( 3).
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar 2x2\tealD{2x^2}.
Verificar nuestro resultado
Podemos revisar nuestra factorización al multiplicar 2x22x^2 de regreso en el polinomio.
Como esto es lo mismo que el polinomio original, ¡nuestra factorización es correcta!

Comprueba tu comprensión

2) Factoriza el máximo común divisor en 12x2+18x12x^2+18x.
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Paso 1: encuentra el MCD
  • 12x2=223xx12x^2=\maroonD2\cdot 2\cdot \blueD3\cdot \goldD{x}\cdot x
  • 18x=233x18x=\maroonD2\cdot \blueD3\cdot 3\cdot \goldD{x}
Así que el MCD de 12x2+18x12x^2+18x es 23x\maroonD2 \cdot \blueD 3\cdot \goldD{x} o 6x\tealD{6x}.
Paso 2: expresa cada término como un producto de 6x\tealD{6x} y otro factor.
  • 12x2=(6x)(2x)12x^2=(\tealD{6x})({2x})
  • 18x=(6x)(3)18x=(\tealD{6x})({3})
El polinomio puede escribirse como 12x2+18x=(6x)(2x)+(6x)(3)12x^2+18x=(\tealD{6x})( 2x)+(\tealD{6x}) (3).
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar 6x\tealD{6x}.
En conclusión, el resultado de factorizar el MCD de 12x2+18x12x^2+18x es 6x(2x+3)6x(2x+3).
3) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
10x2+25x+15=10x^2+25x+15 =

Paso 1: encuentra el MCD
  • 10x2=25xx10x^2=2\cdot \tealD5\cdot x\cdot x
  • 25x=55x25x=\tealD5\cdot 5\cdot {x}
  • 15=3515=3\cdot \tealD{5}
Así que el MCD de 10x2+25x+1510x^2+25x+15 es 5\tealD{5}.
Paso 2: expresa cada término como un producto de 5\tealD{5} y otro factor.
  • 10x2=(5)(2x2)10x^2=(\tealD{5})({2x^2})
  • 25x=(5)(5x)25x=(\tealD{5})({5x})
  • 15=(5)(3)15=(\tealD{5})(3)
El polinomio puede escribirse como 10x2+25x+15=(5)(2x2)+(5)(5x)+(5)(3)10x^2+25x+15=(\tealD{5})( 2x^2)+(\tealD{5}) (5x)+(\tealD{5}) (3).
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar 5\tealD{5}.
En conclusión, el resultado de factorizar el MCD de 10x2+25x+1510x^2+25x+15 es 5(2x2+5x+3)5(2x^2+5x+3).
4) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
x48x3+x2=x^4-8x^3+x^2=

Paso 1: encuentra el MCD
  • x4=xxxxx^4=\goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x\cdot x
  • 8x3=222xxx8x^3=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x
  • x2=xxx^2=\goldD{x}\cdot \goldD{x}
Así que el MCD de x48x3+x2x^4-8x^3+x^2 es xx\goldD{x} \cdot \goldD{x} o x2\tealD{x^2}.
Paso 2: expresa cada término como un producto de x2\tealD{x^2} y otro factor.
  • x4=(x2)(x2)x^4=(\tealD{x^2})({x^2})
  • 8x3=(x2)(8x)8x^3=(\tealD{x^2})({8x})
  • x2=(x2)(1)x^2=(\tealD{x^2})(1)
El polinomio puede escribirse como x48x3+x2=(x2)(x2)(x2)(8x)+(x2)(1)x^4-8x^3+x^2=(\tealD{x^2})(x^2)-(\tealD{x^2})(8x)+(\tealD{x^2}) (1).
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar x2\tealD{x^2}.
En conclusión, el resultado de factorizar el MCD de x48x3+x2x^4-8x^3+x^2 es x2(x28x+1)x^2(x^2-8x+1).

¿Podemos ser más eficientes?

Si te sientes cómodo con el proceso de factorizar el MCD, puedes usar un método más rápido:
Una vez que conocemos el MCD, la forma factorizada es simplemente el producto de ese MCD y la suma de los términos en el polinomio original dividido entre el MCD.
Ve, por ejemplo, cómo usamos este método rápido para factorizar 5x2+10x5x^2+10x, cuyo MCD es 5x\tealD{5x}:
5x2+10x=5x(5x25x+10x5x)=5x(x+2)5x^2+10x=\tealD{5x}\left(\dfrac{5x^2}{\tealD{5x}}+\dfrac{10x}{\tealD{5x}}\right)=\tealD{5x}(x+2)

Factorizar factores binomiales

El factor común en un polinomio no tiene que ser un monomio.
Por ejemplo, considera el polinomio x(2x1)4(2x1)x(2x-1)-4(2x-1).
Observa que el binomio 2x1\tealD{2x-1} es común a ambos términos. Podemos factorizar esto usando la propiedad distributiva:
A veces es más fácil visualizar esta factorización si hacemos una sustitución.
La propiedad distributiva nos dice que ABCB=B(AC)\goldD A\tealD{B}-\purpleC C\tealD{B}=\tealD{B} (\goldD A-\purpleC C).
Pero si A=x\goldD A=\goldD x, B=2x1\tealD B=\tealD{2x-1} y C=4\purpleC C=\purpleC4, podemos sustituir para justificar la factorización.
x(2x1)4(2x1)=(2x1)(x4)\goldD x(\tealD{2x-1})-\purpleC4(\tealD{2x-1})=(\tealD{2x-1})(\goldD x-\purpleC4)
Si escribimos la factorización como 2x1(x4)\tealD{2x-1}(x-4) esto implicaría que solo el 1-1 se distribuye sobre x4x-4.
Sabemos que el factor completo 2x12x-1 debe distribuirse, y por eso debemos poner paréntesis alrededor del factor.

Comprueba tu comprensión

5) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
2x(x+3)+5(x+3)=2x(x+3)+5(x+3)=

Observa que x+3\tealD{x+3} es común a ambos términos. Podemos factorizar esto usando la propiedad distributiva.
La forma factorizada es (x+3)(2x+5)(x+3)(2x+5).

Diferentes tipos de factorizaciones

Puede parecer que hemos usado el término "factor" para describir varios procesos diferentes:
  • Factorizamos monomios al escribirlos como un producto de otros monomios. Por ejemplo, 12x2=(4x)(3x)12x^2=(4x)(3x).
  • Factorizamos el MCD de polinomios usando la propiedad distributiva. Por ejemplo, 2x2+12x=2x(x+6)2x^2+12x=2x(x+6).
  • Factorizamos factores binomiales comunes que resultaron en una expresión igual al producto de dos binomios. Por ejemplo x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2).
Aunque hayamos podido usar diferentes técnicas, lo que hicimos en cada caso fue escribir el polinomio como un producto de dos o más factores. Así que en los tres ejemplos, factorizamos el polinomio.

Problemas de desafío

6*) Factoriza el máximo común divisor en el siguiente polinomio.
12x2y530x4y2=12x^2y^5-30x^4y^2=

Paso 1: encuentra el MCD
  • 12x2y5=223xxyyyyy12x^2y^5=\maroonD{2}\cdot 2\cdot \maroonD3\cdot \goldD {x}\cdot \goldD x\cdot \greenD y\cdot \greenD y\cdot y\cdot y \cdot y
  • 30x4y2=235xxxxyy30x^4y^2=\maroonD2\cdot \maroonD 3 \cdot 5 \cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x\cdot x \cdot \greenD y \cdot \greenD y
Así que el MCD de 12x2y530x4y212x^2y^5-30x^4y^2 es 6x2y2\tealD{6x^2y^2}.
Paso 2: expresa cada término como un producto de 6x2y2\tealD{6x^2y^2} y otro factor.
  • 12x2y5=(6x2y2)(2y3)12x^2y^5=(\tealD{6x^2y^2})({2y^3})
  • 30x4y2=(6x2y2)(5x2)30x^4y^2=(\tealD{6x^2y^2})({5x^2})
El polinomio puede escribirse como 12x2y530x4y2=(6x2y2)(2y3)(6x2y2)(5x2)12x^2y^5-30x^4y^2=(\tealD{6x^2y^2})( 2y^3)-(\tealD{6x^2y^2}) (5x^2).
Paso 3: factoriza el MCD
Ahora podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar 6x2y2\tealD{6x^2y^2}.
Escribimos el polinomio factorizado como 6x2y2(2y35x2)6x^2y^2(2y^3-5x^2).
7*) Un rectángulo grande con un área de 14x4+6x214x^4+6x^2 metros cuadrados se divide en dos rectángulos más pequeños con áreas de 14x414x^4 y 6x26x^2 metros cuadrados.
El ancho del rectángulo (en metros) es igual al máximo común divisor de 14x414x^4 y 6x26x^2.
¿Cuál es el largo y el ancho del rectángulo grande?
Ancho=\text{Ancho} =
metros.
Largo=\text{Largo} =
metros.

Sabemos que el ancho del rectángulo es igual al máximo común divisor de 14x414x^4 y 6x26x^2. ¡Encontremos el factor!
  • 14x4=27xxxx14x^4=\maroonD2\cdot 7\cdot \goldD{x}\cdot \goldD{x}\cdot x\cdot x
  • 6x2=23xx6x^2=\maroonD2\cdot 3\cdot \goldD x \cdot \goldD x
Como el MCD es 2x2\tealD{2x^2}, el ancho del rectángulo es 2x2\tealD {2x^2}.
Podemos encontrar el largo del rectángulo grande si encontramos el largo de los dos rectángulos más pequeños. Haremos eso al usar la fórmula del área A=(l)(w)A=(l)(w) (Aˊrea=Largo×Ancho)(\text{Área}=\text{Largo}\times\text{Ancho}) y el hecho de que w=2x2w=\tealD{2x^2}:
El 14x4 rectnguloaˊ14x4=(l)(2x2)14x42x2=l   7x2=l\begin{aligned}&\text{El } 14x^4\text{ rectángulo}\\\\ &14x^4=(l)(\tealD{2x^2})\\ \\ &\dfrac{14x^4}{\tealD{2x^2}}=l\\ \\ &~~~7x^2=l \end{aligned}\qquadEl 6x2 rectnguloaˊ6x2=(l)(2x2)6x22x2=l     3=l\begin{aligned}&\text{El }6x^2\text{ rectángulo}\\\\ &6x^2=(l)(\tealD{2x^2})\\ \\ &\dfrac{6x^2}{\tealD{2x^2}}=l\\ \\ &~~~~~3=l \end{aligned}
Podemos combinar estas longitudes para encontrar que el largo del rectángulo grande es 7x2+37x^2+3.
Observa que habríamos conseguido el mismo resultado si hubiéramos factorizado 2x2\tealD{2x^2} el área del rectángulo grande, 14x4+6x214x^4+6x^2:
14x4+6x2=(2x2)(7x2)+(2x2)(3)=2x2(7x2+3)\begin{aligned}14x^4+6x^2&=(\tealD{2x^2})(7x^2)+(\tealD{2x^2})(3)\\ \\ &=\tealD{2x^2}(7x^2+3)\end{aligned}
De cualquier forma, vemos que el largo del rectángulo grande es 7x2+37x^2+3 metros.
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