Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Aprende a factorizar cuadráticas que tienen la forma "diferencia de cuadrados". Por ejemplo, escribe x²-16 como (x+4)(x-4).
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
En este artículo, aprenderemos a usar la diferencia de cuadrados para factorizar ciertos polinomios. Si no conoces la diferencia de cuadrados, por favor revisa nuestro video antes de seguir.

Introducción: patrón de diferencia de cuadrados

Cada polinomio que sea una diferencia de cuadrados se puede factorizar al aplicar la siguiente fórmula:
a2b2=(a+b)(ab)\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)
Observa que, en el patrón, aa y bb pueden ser una expresión algebraica. Por ejemplo, para a=xa=x y b=2b=2, obtenemos lo siguiente:
x222=(x+2)(x2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
El polinomio x24x^2-4 ahora se expresa en forma factorizada, (x+2)(x2)(x+2)(x-2). Podemos desarrollar el lado derecho de esta ecuación para justificar la factorización:
(x+2)(x2)=x(x2)+2(x2)=x22x+2x4=x24\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Ahora que entendimos el patrón, usémoslo para factorizar más polinomios.

Ejemplo 1: factorizar x216x^2-16

Tanto x2x^2 como 1616 son cuadrados perfectos, ya que x2=(x)2x^2=(\blueD{x})^2 y 16=(4)216=(\greenD{4})^2. En otras palabras:
x216=(x)2(4)2x^2-16 =(\blueD {x})^2-(\greenD{4})^2
Como los dos cuadrados se están restando, podemos ver que este polinomio representa una diferencia de cuadrados. Podemos usar el patrón de diferencia de cuadrados para factorizar esta expresión:
a2b2=(a+b)(ab)\blueD{a}^2-\greenD{b}^2=(\blueD a+\greenD b)(\blueD a-\greenD b)
En nuestro caso, a=x\blueD a=\blueD x y b=4\greenD b=\greenD 4. Por lo tanto, nuestro polinomio se factoriza así:
(x)2(4)2=(x+4)(x4)(\blueD{x})^2-(\greenD{4})^2=(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)
Podemos revisar nuestro trabajo al asegurar que el producto de estos dos factores es x216x^2-16.

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Pregunta para reflexionar

Ejemplo 2: factorizar 4x294x^2-9

El coeficiente principal no tiene que ser igual a 11 para usar el patrón de la diferencia de cuadrados. ¡De hecho, el patrón de la diferencia de cuadrados se puede usar en este caso!
La razón es que 4x24x^2 y 99 son cuadrados perfectos, pues 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2 y 9=(3)29=(\greenD{3})^2. Podemos usar esta información para factorizar el polinomio usando el patrón de la diferencia de cuadrados:
4x29=(2x)2(3)2=(2x+3)(2x3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Una comprobación con una multiplicación rápida verifica nuestra respuesta.

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