Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

Aprende a factorizar expresiones cuadráticas que tienen la forma "cuadrado perfecto". Por ejemplo, escribe x²+6x+9 como (x+3)².
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al proceso de la multiplicación de polinomios.
En este artículo, aprenderemos a factorizar trinomios cuadrados perfectos usando patrones especiales. Esto revierte el proceso de elevar al cuadrado un binomio, así que querrás entender este proceso por completo antes de continuar.

Introducción: factorizar trinomios cuadrados perfectos

Para desarrollar un binomio, podemos aplicar uno de los siguientes patrones.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2(\blueD a+\greenD b)^2=\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2
  • (ab)2=a22ab+b2(\blueD a-\greenD b)^2=\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2
Observa que en los patrones, aa y bb pueden ser cualquier expresión algebraica. Por ejemplo, supón que queremos desarrollar (x+5)2(x+5)^2. En este caso, a=x\blueD{a}=\blueD x y b=5\greenD b=\greenD5, y entonces obtenemos:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Puedes revisar este patrón al usar la multiplicación para desarrollar (x+5)2(x+5)^2.
El inverso de este proceso de desarrollo es una forma de factorización. Si reescribimos las ecuaciones en el orden inverso, tendremos patrones para factorizar polinomios de la forma a2±2ab+b2a^2\pm2ab+b^2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
  • a22ab+b2 =(ab)2\blueD a^2-2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a-\greenD b)^2
Podemos aplicar el primer patrón para factorizar x2+10x+25x^2+10x+25. Aquí tenemos a=x\blueD a=\blueD x y b=5\greenD b=\greenD 5.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Las expresiones de esta forma se llaman trinomios cuadrados perfectos. ¡El nombre refleja el hecho de que este tipo de polinomios de tres términos se puede expresar como un cuadrado perfecto!
Veamos unos cuantos ejemplos en los que factorizamos trinomios cuadrados perfectos usando este patrón.

Ejemplo 1: factorizar x2+8x+16x^2+8x+16

Observa que el primero y el último término son cuadrados perfectos: x2=(x)2x^2=(\blueD x)^2 y 16=(4)216=(\greenD4)^2. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado: 2(x)(4)=8x2(\blueD x)(\greenD 4)=8x.
Esto nos dice que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, y entonces podemos usar el siguiente patrón de factorización.
a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
En nuestro caso, a=x\blueD{a}=\blueD{x} y b=4\greenD{b}=\greenD{4}. Podemos factorizar nuestro polinomio como sigue:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar (x+4)2(x+4)^2:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

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Ejemplo 2: factorizar 4x2+12x+94x^2+12x+9

No es necesario que el coeficiente principal de un trinomio cuadrado perfecto sea 11.
Por ejemplo, en 4x2+12x+94x^2+12x+9, observa que tanto el primer término como el último son cuadrados perfectos: 4x2=(2x)24x^2=(\blueD {2x})^2 y 9=(3)29=(\greenD3)^2. Además, observa que el término de en medio es dos veces el producto de los números que están elevados al cuadrado: 2(2x)(3)=12x2(\blueD {2x})(\greenD 3)=12x.
Como esto satisface las condiciones anteriores, 4x2+12x+94x^2+12x+9 también es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos aplicar nuevamente el siguiente patrón de factorización.
a2+2ab+b2 =(a+b)2\blueD a^2+2\blueD a\greenD b+\greenD b^2~=(\blueD a+\greenD b)^2
En este caso, a=2x\blueD{a}=\blueD{2x} y b=3\greenD{b}=\greenD{3}. El polinomio se factoriza como sigue:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Podemos revisar nuestro trabajo al desarrollar (2x+3)2(2x+3)^2.

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