Introducción a factores y divisibilidad
Aprende qué significa que los polinomios sean factores de otros polinomios o que sean divisibles entre ellos.
Lo que necesitamos saber para esta lección
Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de , por ejemplo, . Un polinomio es una expresión que consiste en la suma o resta de monomios, por ejemplo, .
Lo que aprenderemos en esta lección
En esta lección vamos a explorar la relación entre factores y divisibilidad en polinomios, y también aprenderemos cómo determinar si un polinomio es un factor de otro polinomio.
Factores y divisibilidad en enteros
En general, dos enteros que se multiplican para obtener un número se consideran factores de ese número.
Por ejemplo, ya que , sabemos que y son factores de
Un número es divisible entre otro número si el resultado de la división es un entero.
Por ejemplo, como y , entonces es divisible entre y . Pero, ya que , entonces no es divisible entre .
Observa la relación entre factores y divisibilidad:
Como (lo cual significa que es un factor de ), sabemos que (lo que significa que es divisible entre ).
En la otra dirección, como (lo que significa que es divisible entre ), sabemos que (lo que significa que es un factor de ).
Esto es verdad en general: si es un factor de , entonces es divisible entre y viceversa.
Factores y divisibilidad en polinomios
Este conocimiento puede aplicarse también a polinomios.
Cuando se multiplican dos o más polinomios, llamamos a cada uno de estos polinomios factores del producto.
Por ejemplo, sabemos que . Esto significa que y son factores de .
Además, un polinomio es divisible entre otro polinomio si el cociente es también un polinomio.
Por ejemplo, como y como , entonces es divisible entre y . Sin embargo, como , sabemos que no es divisible entre .
La misma relación entre factores y divisibilidad que se observó con números enteros también es válida aquí:
En general, si para los polinomios , y , entonces sabemos lo siguiente:
- y son factores de .
- es divisible entre y .
Comprueba tu comprensión
Determinar factores y divisibilidad
Ejemplo 1: ¿ es divisible entre ?
Para responder esta pregunta, podemos encontrar y simplificar . Si el resultado es un monomio, entonces es divisible entre . Si el resultado no es un monomio, entonces no es divisible entre .
Como el resultado es un monomio, sabemos que es divisible entre . (Esto también implica que es un factor de ).
Ejemplo 2: ¿ es un factor de ?
Si es un factor de , entonces es divisible entre . Así que encontremos y simplifiquemos .
Observa que el término no es un monomio pues es un cociente, no un producto. Por lo tanto, podemos concluir que no es un factor de .
Resumen
En general, para determinar si un polinomio es divisible entre otro polinomio , o de forma equivalente si es un factor de , podemos encontrar y examinar .
Si la forma simplificada es un polinomio, entonces es divisible entre y es un factor de .
Comprueba tu comprensión
Problemas de desafío
¿Por qué estamos interesados en factorizar polinomios?
Así como factorizar enteros se volvió muy útil para una variedad de aplicaciones, ¡lo mismo ocurre con la factorización de polinomios!
Específicamente, la factorización de polinomios es muy útil para resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.
Si te gustaría aprender más al respecto revisa los siguientes artículos:
¿Qué sigue?
El siguiente paso en el proceso de factorización involucra aprender a factorizar monomios. Puedes aprender sobre esto en nuestro siguiente artículo.