Introducción a factores y divisibilidad

Aprende qué significa que los polinomios sean factores de otros polinomios o que sean divisibles entre ellos.

Lo que necesitamos saber para esta lección

Un monomio es una expresión que es el producto de constantes y potencias enteras no negativas de xx, por ejemplo, 3x23x^2. Un polinomio es una expresión que consiste en la suma o resta de monomios, por ejemplo, 3x2+6x13x^2+6x-1.

Lo que aprenderemos en esta lección

En esta lección vamos a explorar la relación entre factores y divisibilidad en polinomios, y también aprenderemos cómo determinar si un polinomio es un factor de otro polinomio.

Factores y divisibilidad en enteros

En general, dos enteros que se multiplican para obtener un número se consideran factores de ese número.
Por ejemplo, ya que 14=27{14}=2\cdot 7, sabemos que 22 y 77 son factores de 14.{14}.
Un número es divisible entre otro número si el resultado de la división es un entero.
Por ejemplo, como 153=5\dfrac{{15}}{3}=5 y 155=3\dfrac{{15}}{5}=3, entonces 15{15} es divisible entre 33 y 55. Pero, ya que 94=2.25\dfrac{9}{4}=2.25, entonces 99 no es divisible entre 44.
Observa la relación entre factores y divisibilidad:

Como 14=27\goldD{14}=\blueD{2}\cdot7 (lo cual significa que 22 es un factor de 1414), sabemos que 142=7\dfrac{\goldD{14}}{\blueD2}=7 (lo que significa que 1414 es divisible entre 22).
En la otra dirección, como 153=5\dfrac{\goldD{15}}{\blueD3}=5 (lo que significa que 1515 es divisible entre 33), sabemos que 15=35\goldD{15}=\blueD3\cdot 5 (lo que significa que 33 es un factor de 1515).
Esto es verdad en general: si aa es un factor de bb, entonces bb es divisible entre aa y viceversa.

Factores y divisibilidad en polinomios

Este conocimiento puede aplicarse también a polinomios.
Cuando se multiplican dos o más polinomios, llamamos a cada uno de estos polinomios factores del producto.
Por ejemplo, sabemos que 2x(x+3)=2x2+6x{2x}({x+3})={2x^2+6x}. Esto significa que 2x{2x} y x+3{x+3} son factores de 2x2+6x{2x^2+6x}.
Además, un polinomio es divisible entre otro polinomio si el cociente es también un polinomio.
Por ejemplo, como 6x23x=2x\dfrac{6x^2}{3x}=2x y como 6x22x=3x\dfrac{6x^2}{2x}=3x, entonces 6x26x^2 es divisible entre 3x3x y 2x2x. Sin embargo, como 4x2x2=2x\dfrac{4x}{2x^2}=\dfrac{2}{x}, sabemos que 4x4x no es divisible entre 2x22x^2.
La misma relación entre factores y divisibilidad que se observó con números enteros también es válida aquí:
En general, si p=qrp=q\cdot r para los polinomios pp, qq y rr, entonces sabemos lo siguiente:
  • qq y rr son factores de pp.
  • pp es divisible entre qq y rr.

Comprueba tu comprensión

1) Completa el enunciado acerca de la relación expresada por 3x(x+2)=3x2+6x3x(x+2)=3x^2+6x.
x+2x+2 es
3x2+6x3x^2+6x, y 3x2+6x3x^2+6x es
x+2x+2.

Sabemos que 3x(x+2)=3x2+6x3x(x+2)=3x^2+6x.
Esto significa que x+2x+2 es un factor de 3x2+6x3x^2+6x, y que 3x2+6x3x^2+6x es divisible entre x+2x+2.
2) Una maestra escribe el siguiente producto en el pizarrón:
(3x2)(4x)=12x3\qquad (3x^2)(4x) = 12x^3
Miles concluye que 3x23x^2 es un factor de 12x312x^3.
Jude concluye que 12x312x^3 es divisible entre 4x4x.
¿Quién está en lo correcto?
Escoge 1 respuesta:
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Cuando dos o más polinomios se multiplican, llamamos a cada uno de estos polinomios un factor del producto. Además, decimos que el producto es divisible entre cada uno de estos polinomios.
Como (3x2)(4x)=12x3(3x^2)(4x) = 12x^3, sabemos que 3x23x^2 y 4x4x son factores de 12x312x^3. También sabemos que 12x312x^3 es divisible entre 3x23x^2 y 4x4x.
Tanto Miles como Jude están en lo correcto.

Determinar factores y divisibilidad

Ejemplo 1: ¿24x424x^4 es divisible entre 8x38x^3?

Para responder esta pregunta, podemos encontrar y simplificar 24x48x3\dfrac{24x^4}{8x^3}. Si el resultado es un monomio, entonces 24x424x^4 es divisible entre 8x38x^3. Si el resultado no es un monomio, entonces 24x424x^4 no es divisible entre 8x38x^3.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
Como el resultado es un monomio, sabemos que 24x424x^4 es divisible entre 8x38x^3. (Esto también implica que 8x38x^3 es un factor de 24x424x^4).

Ejemplo 2: ¿4x64x^6 es un factor de 32x332x^3?

Si 4x64x^6 es un factor de 32x332x^3, entonces 32x332x^3 es divisible entre 4x64x^6. Así que encontremos y simplifiquemos 32x34x6\dfrac{32x^3}{4x^6}.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
Observa que el término 8x3\dfrac{8}{x^3} no es un monomio pues es un cociente, no un producto. Por lo tanto, podemos concluir que 4x64x^6 no es un factor de 32x332x^3.

Resumen

En general, para determinar si un polinomio pp es divisible entre otro polinomio qq, o de forma equivalente si qq es un factor de pp, podemos encontrar y examinar p(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)}.
Si la forma simplificada es un polinomio, entonces pp es divisible entre qq y qq es un factor de pp.

Comprueba tu comprensión

3) ¿Es 30x430x^4 divisible entre 2x22x^2?
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Encontremos y simplifiquemos 30x42x2\dfrac{30x^4}{2x^2}.
30x42x2=302x4x2=15x2=15x2\begin{aligned}\dfrac{30x^4}{2x^2}&=\dfrac{30}{2}\cdot \dfrac{x^4}{x^2}\\ \\ &=15\cdot x^2\\ \\ &=15x^2 \end{aligned}
Como el resultado es un monomio, 30x430x^4 es divisible entre 2x22x^2.
4) ¿Es 12x212x^2 un factor de 6x6x?
Escoge 1 respuesta:
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Si 12x212x^2 es un factor de 6x6x, entonces 6x6x es divisible entre 12x212x^2. Así que encontremos y simplifiquemos 6x12x2\dfrac{6x}{12x^2}.
6x12x2=612xx2=12x1=121x=12x\begin{aligned}\dfrac{6x}{12x^2}&=\dfrac{6}{12}\cdot \dfrac{x}{x^2}\\ \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-1}\\ \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x}\\ \\ &=\dfrac{1}{2x} \end{aligned}
Como el resultado no es un monomio (xx está en el denominador), 12x212x^2 no es un factor de 6x6x.

Problemas de desafío

5*) ¿Cuáles de los siguientes monomios son factores de 15x2y615x^2y^6 ?
 
Es factor
No es factor
5x5x
3x2y53x^2y^5
10x4y310x^4y^3

Podemos determinar si un monomio A\greenD{A} es un factor de 15x2y6\blueD{15x^2y^6} al dividir 15x2y6\blueD{15x^2y^6} entre A\greenD{A} y revisar el cociente:
¡Vamos a probar esto con los monomios dados!
15x2y65x=3xy615x2y63x2y5=5y15x2y610x4y3=3y32x2\qquad \begin{aligned}\dfrac{\blueD{15x^2y^6}}{\greenD{5x}}&=3xy^6\\\\\\\\ \dfrac{\blueD{15x^2y^6}}{\greenD{3x^2y^5}}&=5y\\\\\\\\\\ \dfrac{\blueD{15x^2y^6}}{\greenD{10x^4y^3}}&=\dfrac{3y^3}{2x^2}\\\\\\\\\\ \end{aligned}
Como 3xy63xy^6 y 5y5y son ambos monomios, podemos concluir que 5x\greenD{5x} y 3x2y5\greenD{3x^2y^5} son factores de 15x2y6\blueD{15x^2y^6}.
Observa que el término 3y32x2\dfrac{3y^3}{2x^2} tiene un x2x^2 en el denominador, y entonces no es un monomio. Por lo tanto concluimos que 10x4y3\greenD{10x^4y^3} no es un factor de 15x2y6\blueD{15x^2y^6}.
6*) El área de un rectángulo con ancho de x+1x+1 unidades y largo de x+4x+4 unidades es de x2+5x+4x^2+5x+4 unidades cuadradas.
¿Cuáles de los siguientes son factores de x2+5x+4x^2+5x+4?
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

Sabemos que el área (A)(A) de un rectángulo es largo(l)×ancho(w)\text{largo} (l)\times \text{ancho}(w).
Para este rectángulo, tenemos:
A=lwx2+5x+4=(x+4)(x+1)\begin{aligned}A&=l\cdot w\\ \\ x^2+5x+4&=(x+4)(x+1) \end{aligned}
Con base en la última ecuación, sabemos que x+4x+4 y x+1x+1 deben ser factores de x2+5x+4x^2+5x+4.

¿Por qué estamos interesados en factorizar polinomios?

Así como factorizar enteros se volvió muy útil para una variedad de aplicaciones, ¡lo mismo ocurre con la factorización de polinomios!
Específicamente, la factorización de polinomios es muy útil para resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.
Si te gustaría aprender más al respecto revisa los siguientes artículos:

¿Qué sigue?

El siguiente paso en el proceso de factorización involucra aprender a factorizar monomios. Puedes aprender sobre esto en nuestro siguiente artículo.
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