Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas como (x-1)(x+3)=0, y a utilizar la factorización para resolver otras formas de ecuaciones.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta ahora has resuelto ecuaciones lineales, que incluyen términos constantes (números) y términos con la variable elevada a la primera potencia (x1=x)(x^1=x).
Puede ser que también hayas resuelto algunas ecuaciones cuadráticas, que incluyen variables elevadas a la segunda potencia, al aplicar raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
En esta lección aprenderás una nueva forma de resolver ecuaciones cuadráticas. Específicamente, aprenderás
  • cómo resolver ecuaciones factorizadas como (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0, y
  • cómo utilizar métodos de factorización para convertir otras ecuaciones ((como x23x10=0)x^2-3x-10=0) a la forma factorizada y resolverlas.

Resolver ecuaciones cuadráticas factorizadas

Supón que se nos pide resolver la ecuación cuadrática (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0.
Quizá te preguntes cómo podemos saber que esta ecuación es cuadrática si nada está elevado a la segunda potencia.
Es una ecuación cuadrática porque contiene el producto de dos expresiones con la variable. Si desarrollamos este producto obtendremos la ecuación cuadrática x2+2x3=0x^2+2x-3=0.
Este es un producto de dos expresiones, y es igual a cero. Observa que cualquier valor de xx que haga que (x1)(x-1) o (x+3)(x+3) sea cero, hará que el producto sea cero.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
El sustituir x=1x=1 o bien x=3x=-3 en la ecuación tiene por resultado la ecuación verdadera 0=00=0, así que ambos valores son soluciones de la ecuación.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Resuleve (x+5)(x+7)=0(x+5)(x+7)=0.
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(x+5)(x+7)=0(x+5)(x+7)=0
x+5=0x+7=0x=5x=7\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+5&=0&x+7&=0\\\\ x&=-5&x&=-7\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=5x=-5 y x=7x=-7.
Resuleve (2x1)(4x3)=0(2x-1)(4x-3)=0.
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(2x1)(4x3)=0(2x-1)(4x-3)=0
2x1=04x3=02x=14x=3x=12x=34\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 2x-1&=0&4x-3&=0\\\\ 2x&=1&4x&=3\\\\ x&=\dfrac{1}{2}&x&=\dfrac{3}{4}\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=12x=\dfrac{1}{2} y x=34x=\dfrac{3}{4}.

Pregunta para reflexionar

¿Podemos usar el mismo método de resolución con la ecuación (x1)(x+3)=6(x-1)(x+3)=6?
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El método de solución que acabas de aprender solo se puede utilizar cuando tenemos un producto igual a cero.
Esto se debe a que, cuando un producto es igual a cero, sabemos que uno de los factores debe ser igual a cero; y en ese caso no importa qué sea el otro factor.
En el caso de un producto que es igual a un número diferente de cero, como 66, no hay ningún requisito para alguno de los factores. Solo podemos decir algo sobre ambos factores. Por ejemplo:
  • si uno de los factores es 11, el otro es 66,
  • si uno de los factores es 22, el otro es 66, o bien
  • si uno de los factores es 12\dfrac{1}{2}, el otro es 1212.
Esto no nos permite convertir la ecuación cuadrática en dos ecuaciones lineales separadas.

Una observación sobre la propiedad del producto-cero

¿Cómo sabemos que no existen otras soluciones que no sean las dos que nos encontramos con nuestro método?
La respuesta la obtenemos a partir de una propiedad simple pero muy útil que se llama la propiedad del producto-cero:
Si el producto de dos cantidades es igual a cero, entonces al menos una de las cantidades debe ser igual a cero.
Ya sabemos que el producto de cualquier número y cero es igual a cero, pero este principio nos dice que si el producto es cero, entonces es seguro que uno de los factores es cero.
Piensa en el caso en que ambos factores son diferentes de cero. En este caso, el producto también sería diferente de cero. Por ejemplo, no hay nada que puedas multiplicar por 22 para obtener cero, excepto cero.
Por tanto, para que un producto sea cero, uno de los factores debe ser cero.
Al sustituir cualquier valor de xx, a excepción de nuestras soluciones, obtenemos un producto de dos números diferentes de cero, lo que significa que el producto es definitivamente diferente de cero. Por lo tanto, sabemos que nuestras soluciones son las únicas posibles.

Resolver mediante factorización

Supón que queremos resolver la ecuación x23x10=0x^2-3x-10=0, entonces todo lo que tenemos que hacer es factorizar x23x10x^2-3x-10 y ¡resolver como lo hicimos antes!
x23x10x^2-3x-10 se puede factorizar como (x+2)(x5)(x+2)(x-5).
Como el coeficiente principal (el coeficiente de x2x^2) es 11, podemos utilizar el patrón de suma-producto.
De acuerdo al patrón de suma-producto, si tenemos dos números aa y bb tales que a+b=3a+b=\tealD{-3} y ab=10a\cdot b=\blueD{-10}, entonces x23x10=(x+a)(x+b)x^2\tealD{-3}x\blueD{-10}=(x+a)(x+b).
Al considerar las parejas de enteros cuyo producto es 10\blueD{-10}, y eliminar aquellas cuya suma no sea 3\tealD{-3}, encontramos los números que necesitamos: a=2a=2 y b=5b=-5.
Por lo tanto, la expresión factorizada es (x+2)(x5)(x+2)(x-5).
La solución completa de la ecuación es como sigue:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Ahora es tu turno para resolver algunas ecuaciones. Ten en cuenta que ecuaciones diferentes pueden requerir otros métodos de factorización.

Resuelve x2+5x=0x^2+5x=0.

Paso 1. Factoriza x2+5xx^2+5x como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Para factorizar x2+5xx^2+5x solo necesitamos extraer un factor común xx de ambos términos:
x2+5x=x(x+5)x^2+5x=x(x+5)
En conclusión, la expresión factorizada es x(x+5)x(x+5).
Paso 2. Resuelve la ecuación.
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Ya encontramos que x2+5xx^2+5x puede factorizarse como x(x+5)x(x+5). Por lo tanto, podemos resolver la ecuación como sigue.
x2+5x=0x(x+5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2+5x&=0\\\\ x(x+5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x=0x+5=0x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=0&x+5&=0\\\\ &&x&=-5\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=0x=0 y x=5x=-5.

Resuelve x211x+28=0x^2-11x+28=0.

Paso 1. Factoriza x211x+28x^2-11x+28 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Como el coeficiente principal (el coeficiente de x2x^2) es 11, podemos utilizar el patrón de suma-producto.
De acuerdo al patrón de suma-producto, si tenemos dos números aa y bb tales que a+b=11a+b=\tealD{-11} y ab=28a\cdot b=\blueD{28}, entonces x211x+28=(x+a)(x+b)x^2\tealD{-11}x+\blueD{28}=(x+a)(x+b).
Al considerar las parejas de enteros cuyo producto es 28\blueD{28}, y eliminar aquellas cuya suma no sea 11\tealD{-11}, encontramos los números que necesitamos: a=4a=-4 y b=7b=-7.
Por lo tanto, la expresión factorizada es (x4)(x7)(x-4)(x-7).
Paso 2. Resuelve la ecuación.
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Ya encontramos que x211x+28x^2-11x+28 puede factorizarse como (x4)(x7)(x-4)(x-7). Por lo tanto, podemos resolver la ecuación como sigue.
x211x+28=0(x4)(x7)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2-11x+28&=0\\\\ (x-4)(x-7)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x4=0x7=0x=4x=7\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x-4&=0&x-7&=0\\\\ x&=4&x&=7\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=4x=4 y x=7x=7.

Resuelve 4x2+4x+1=04x^2+4x+1=0.

Paso 1. Factoriza 4x2+4x+14x^2+4x+1 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Esta expresión tiene la forma de un cuadrado perfecto:
4x2+4x+1=(2x)2+2(2x)(1)+(1)24x^2+4x+1=(\purpleC{2x})^2+2(\purpleC{2x})(\maroonD{1})+(\maroonD{1})^2
Por lo tanto, puede factorizarse como (2x+1)2(\purpleC{2x}+\maroonD{1})^2, que es lo mismo que (2x+1)(2x+1)(2x+1)(2x+1).
Paso 2. Resuelve la ecuación.
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Ya encontramos que 4x2+4x+14x^2+4x+1 puede factorizarse como (2x+1)2(2x+1)^2. Por lo tanto, podemos resolver la ecuación como sigue.
4x2+4x+1=0(2x+1)2=0Factoriza.\begin{aligned}4x^2+4x+1&=0\\\\ (2x+1)^2&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
En este caso tenemos un producto cuyos factores son iguales: 2x+12x+1. No hace falta resolver dos ecuaciones. La única manera para que (2x+1)2(2x+1)^2 sea cero, es si 2x+12x+1 es cero.
2x+1=02x=1x=12\begin{aligned}2x+1&=0\\\\ 2x&=-1\\\\ x&=-\dfrac{1}{2}\end{aligned}
En conclusión, la ecuación tiene una única solución, x=12x=-\dfrac{1}{2}.

Resuelve 3x2+11x4=03x^2+11x-4=0.

Paso 1. Factoriza 3x2+11x43x^2+11x-4 como el producto de dos expresiones lineales.\quad

Como el coeficiente principal (el coeficiente de x2x^2) no es 11, debemos utilizar el método de agrupación.
Para ello, primero debemos encontrar dos números aa y bb tales que a+b=11a+b=\tealD{11} y ab=(3)(4)=12ab=(\purpleC{3})(\blueD{-4})=-12.
Al considerar las parejas de enteros cuyo producto es 12-12, y eliminar aquellas cuya suma no sea 11\tealD{11}, encontramos los números que necesitamos: a=12a=12 y b=1b=-1. Ahora podemos escribir 11x\tealD{11}x como (12xx)(12x-x) y agrupar.
=3x2+11x4=3x2+12xx4=3x(x+4)1(x+4)=(3x1)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}\purpleC{3}x^2+\tealD{11}x\blueD{-4}\\\\ &=3x^2+12x-x-4\\\\ &=3x(x+4)-1(x+4)\\\\ &=(3x-1)(x+4)\end{aligned}
En conclusión, 3x2+11x43x^2+11x-4 se puede factorizar como (3x1)(x+4)(3x-1)(x+4).
Paso 2. Resuelve la ecuación.
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Ya encontramos que 3x2+11x43x^2+11x-4 puede factorizarse como (3x1)(x+4)(3x-1)(x+4). Por lo tanto, podemos resolver la ecuación como sigue.
3x2+11x4=0(3x1)(x+4)=0Factoriza.\begin{aligned}3x^2+11x-4&=0\\\\ (3x-1)(x+4)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
3x1=0x+4=03x=1x=4x=13\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-1&=0&x+4&=0\\\\ 3x&=1&x&=-4\\\\ x&=\dfrac{1}{3}\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=13x=\dfrac{1}{3} y x=4x=-4.

Arreglar la ecuación antes de factorizar

Uno de los lados debe ser cero

Así es como se encuentra la solución de la ecuación x2+2x=40xx^2+2x=40-x:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Resta 40 y suma x.x2+3x40=0Combina trminos semejantes.eˊ(x+8)(x5)=0Factoriza.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Resta 40 y suma }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Combina términos semejantes.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Antes de factorizar manipulamos la ecuación de manera que todos los términos estén del mismo lado y el otro lado sea cero. Solo entonces podemos factorizar y utilizar nuestro método de solución.

Eliminar factores comunes

Así es como se encuentra la solución de la ecuación 2x212x+18=02x^2-12x+18=0:
2x212x+18=0x26x+9=0Divide entre 2.(x3)2=0Factoriza.x3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Divide entre 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Factoriza.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Todos los términos tenían originalmente un factor común 22, así que dividimos ambos lados entre 22 (el lado cero no se altera), lo que hizo más sencilla la factorización.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Encuentra las soluciones de la ecuación.
2x23x20=x2+342x^2-3x-20=x^2+34
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

2x23x20=x2+342x23x20x234=0Resta (x2+34).x23x54=0Combina trminos semejantes.eˊ(x+6)(x9)=0Factoriza.\begin{aligned}2x^2-3x-20&=x^2+34\\\\ 2x^2-3x-20-x^2-34&=0&&\text{Resta }(x^2+34)\text{.}\\\\ x^2-3x-54&=0&&\text{Combina términos semejantes.}\\\\ (x+6)(x-9)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x+6=0x9=0x=6x=9\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+6&=0&x-9&=0\\\\ x&=-6&x&=9\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=6x=-6 y x=9x=9.
Encuentra las soluciones de la ecuación.
3x2+33x+30=03x^2+33x+30=0
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

3x2+33x+30=0x2+11x+10=0Divide entre 3.(x+1)(x+10)=0Factoriza.\begin{aligned}3x^2+33x+30&=0\\\\ x^2+11x+10&=0&&\text{Divide entre 3.}\\\\ (x+1)(x+10)&=0&&\text{Factoriza}.\end{aligned}
x+1=0x+10=0x=1x=10\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+1&=0&x+10&=0\\\\ x&=-1&x&=-10\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=1x=-1 y x=10x=-10.
Encuentra las soluciones de la ecuación.
3x29x20=x2+5x+163x^2-9x-20=x^2+5x+16
Elige todas las respuestas adecuadas:
Elige todas las respuestas adecuadas:

3x29x20=x2+5x+163x29x20x25x16=0Resta (x2+5x+16).2x214x36=0Combina trminos semejantes.eˊx27x18=0Divide entre 2.(x+2)(x9)=0Factoriza.\begin{aligned}3x^2-9x-20&=x^2+5x+16\\\\ 3x^2-9x-20-x^2-5x-16&=0&&\text{Resta }(x^2+5x+16)\text{.}\\\\ 2x^2-14x-36&=0&&\text{Combina términos semejantes.}\\\\ x^2-7x-18&=0&&\text{Divide entre 2.}\\\\ (x+2)(x-9)&=0&&\text{Factoriza.}\end{aligned}
x+2=0x9=0x=2x=9\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-9&=0\\\\ x&=-2&x&=9\end{aligned}
En conclusión, las soluciones son x=2x=-2 y x=9x=9.
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