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Ejemplo resuelto: resolver ecuaciones al completar el cuadrado

Transcripción del video

veamos si podemos resolver esta ecuación cuadrática que tengo aquí x cuadrada menos dos equis -8 igual a cero pero esta vez quiero resolver la de una manera particular porque realmente varias maneras en las que puedes atacar este problema pues intentar simplemente factorizar el lado izquierdo y seguir ese camino pero la manera en la que nosotros vamos a resolverlo es completando el cuadrado y eso qué significa bueno eso significa que vamos a escribir este lado izquierdo que tenemos aquí lo queremos escribir de la siguiente forma como x + am esto elevado al cuadrado más b y como veremos si podemos escribir el lado izquierdo de esta ecuación de esta forma ya va a ser muy sencillo que resolvamos esta ecuación cuadrática entonces veamos si podemos hacerlo pero primero vamos a recordar cómo necesitamos reacomodar el lado izquierdo para llegar a esta forma que tengo aquí si fueras expandir el x más al cuadrado esta parte de aquí que me quedarían que se expandiera moss esto bueno pues esto me quedarían el cuadrado el primero x cuadrada más dos veces el primero por el segundo 2 a x más el cuadrado el segundo que es agua tratada y bueno claro no olvidemos esta vez a esto le estamos sumando ve entonces veamos si podemos escribir esta parte de aquí de esa forma y lo que vamos a hacer es lo que se conoce típicamente como completar el cuadrado entonces voy a reescribir esta parte que tengo aquí pero de una manera muy peculiar voy a poner primero x cuadrada después a menos dos equis y después voy a dejar un espacio por aquí un pequeño espacio para después poner el -8 y después voy a dejar otro pequeño espacio y después voy a poner igual a cero lo único que hice fue escribir esta ecuación que tengo aquí pero de una manera muy peculiar porque esta manera me va a servir para sumar y restar algo que me va a ayudar a completar el cuadrado perfecto entonces si simplemente emparejamos primero tengo x cuadrada y aquí también tengo x cuadrada vamos bien después tengo aquí menos dos equis y aquí tengo más 2 a x ok esto está muy interesante aquí tenemos dos ax y aquí tengo menos 2 x eso quiere decir que entonces menos dos equis tendría que ser dos a x o dicho de otra manera 2 am tendrá que ser menos 22 a tendría que ser lo mismo que menos 2 o bueno si dividimos toda la mitad me quedaría que amd tiene que ser igual a menos uno observa lo que estoy diciendo es que am será siempre la mitad de tu coeficiente del término de primer grado que tengas o lo que es lo mismo también lo puedes ver asim la mitad del coeficiente x que tengas en este caso el coeficiente con el término x es menos dos y entonces a va a ser la mitad de eso la mitad de -2 es menos uno y luego queremos tener a cuadrada y para tener agua tratada lo que necesitamos tener esa kim el cuadrado de menos 1 y el 4 de menos 1 es1 entonces le voy a sumar 11 positivo no voy a poner justo aquí pero como hicimos y dijimos en los videos pasados no podemos hacerlo así porque sí porque sumar algo de un lado de la ecuación sin sumarse al otro lado o sin restar lo de nuevo al mismo lado es fundamentalmente cambiar el valor de la ecuación entonces y sume uno del lado izquierdo tengo que sumar uno del lado derecho para que esta ecuación se mantenga o dicho de otra manera puedo sumar 1 y restar 1 del mismo lado de la ecuación entonces realmente no estoy cambiando el valor del lado izquierdo de la ecuación se mantiene porque lo único que estoy haciendo es sumando 1 y restando 1 ahora seguramente estás preguntando por qué hicimos esto y es que realmente no cambia el valor de esta ecuación que tengo aquí sume uno me reste un homme pero lo hice por una razón principal quiero que ahora observe vez que esta parte que tengo aquí es más déjeme ponerla con este color esta parte del principio de nuestra ecuación ahora concuerda con el patrón que tengo aquí con x cuadrada más 2x más aguada ahora concuerda con esto que tengo aquí aquí tengo a x cuadrada después tengo a dos ax y aquí tengo al menos dos en este caso a vale menos uno y después tengo a cuadrada que es menos uno elevado al cuadrado y después tengo menos 8 -1 lo cual va a equivaler a la parte deben esto que tengo aquí y ahora va a representar avn - 8 -1 es menos nueve así que ya sabemos que ve vale menos nueve entonces todo esto lo podemos escribir de la siguiente manera esta parte del principio me va a quedar como x x y primero lo voy a poner así más o menos uno por que avale menos uno más menos 1 todo esto elevado al cuadrado observa que tenemos el mismo patrón que tengo aquí que lo podíamos factorizar como x mas ha elevado al cuadrado o bien si quieres para que no te confundas lo puedo poner ya directo como x - 1 - 1 esto ha elevado al cuadrado es exactamente lo mismo que x cuadrada menos 2 x + 1 y luego tenemos este -9 déjame ponerlo sin después tenemos este -9 y después tenemos esta ecuación igual a cero después tengo esto igualado a cero y ahora sí podemos sumar nueve de ambos lados de la ecuación voy a sumar nueve del lado izquierdo y 9 del lado derecho de tal manera que déjame ponerlo así voy a sumar estos dos y estos dos y estos dos se van a cancelar y ya solamente me voy a quedar con la expresión al cuadrado del lado izquierdo de la ecuación me va a quedar x - 1 esto ha elevado al cuadrado va a ser igual a hacer más 9 lo cual es 9 y ahora sí si tengo algo al cuadrado que es igual a 9 eso significa que ese algo debe de ser igual a la raíz cuadrada positiva o negativa de nueve entonces x menos uno va a ser igual a más menos 3 a 3 positivo o tres negativo entonces déjame escribirlo aquí entonces vamos a tener que o x menos uno es igual a tres positivo o x menos uno es menos uno es igual a menos tres porque fíjate si ponemos aquí tres y lo elevamos al cuadrado obtenemos 9 y si ponemos aquí al menos tres y yo llevamos al cuadrado también obtenemos 9 así que para obtener el valor de x qué te parece si sumo uno de ambos lados sumó uno de ambos lados muy bien de este lado éstos se van a ir y voy a obtener que x es igual a tres más uno los cuales 411 en su dado caso voy a sumar uno de ambos lados de esta ecuación estos dos se van y me queda que x es igual a menos tres más uno lo cual es menos dos entonces x igual a 4 ó x igual al menos dos son los valores de x que satisfacen esta ecuación y ya terminamos y bueno tal vez te estás preguntando por qué nos tomamos la molestia de completar al cuadrado ya que pudimos ser capaces de factorizar esto de una manera muy sencilla y para este problema particular seguramente lo pudimos haber hecho de una manera muy sencilla pero completando el cuadrado es un método muy poderoso ya que siempre lo puedes aplicar y en un futuro aprenderás la fórmula cuadrática y están viene directamente de completar el cuadrado de hecho cuando aplica la fórmula cuadrática esencialmente aplicas el resultado de completando el cuadrado en fin espero que hayas encontrado todo esto muy divertido