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Introducción a los números racionales e irracionales

Transcripción del video

Vamos a dar un pequeño repaso acerca de los números racionales... los números... números racionales... racionales... Ahora, los números racionales son todos aquellos números que se puede representar como una fracción o visto desde otra manera que se pueden representar como una razón... racionales... racionales suena a ración y ración suena a razón, se pueden ver como una razón... razón... o una proporción... o una proporción... ok... Por ejemplo, todo número entero es un número racional, podemos pensar en el 1 y es que el 1 lo podemos ver como 1 sobre 1, aquí lo estamos viendo como una fracción o como una razón, pero esto también lo podemos ver como -2 entre -2, aquí está escrito de una manera distinta pero como otra razón o proporción o inclusive también lo podemos ver como 10000, 10000 entre 10000 mismo ok, y así puedo ponerte miles de ejemplos, de hecho una cantidad infinita de formas de representar este 1 como una razón o una proporción, cualquier número entre cualquier número entre ese mismo número es igual a 1, ahora también podemos pensar por ejemplo en el -7, el -7 es un número entero y este número lo podemos ver como -7 entre 1, ok, aquí está expresado como una razón o como una fracción y también lo podemos ver no sé, como 7... 7 entre -1, es otra forma de representar a este -7 o inclusive también lo podemos ver como -14... -14 entre 2, si multiplico tanto arriba como abajo por 2 y así puedo ponerte también varios ejemplos de cómo expresar a este número -7. Y bueno, es un número racional porque lo podemos ver como una fracción, ahora que te parece si nosotros pensamos en el número 3.75. El número 3.75 será un número racional y bueno, la repuesta es que el número 3.75 lo podemos ver como 375 entre 100, ¿estás de acuerdo? O lo que es lo mismo, si multiplico por 2 la parte de arriba me va a quedar 750, 750 entre 200 multiplicando ambas partes por 2 o no sé, 3.75 es lo mismo que 3 enteros, que 3 enteros 3/4... que 3 enteros 3/4 y bueno, esto lo podemos ver como una fracción impropia, si yo multiplico 3 por 4 = 12 más 3 son 15/4... 15/4... 15/4, es decir, que 3.75 también es lo mismo que 15/4 o podría yo multiplicar todo, no sé, por -2 y esto es lo mismo que -30 entre -8, ok. Son varias formas de representar como una razón, como una proporción, cómo una fracción el número 3.75. Bueno, ¿y qué pasa con los decimales que se repiten? no sé, se me ocurre tomarme al decimal... a 0.3333... sigue y sigue y sigue y sigue que por cierto, éste es el decimal que se repite que tal vez más conocido sea y entonces esto es exactamente lo mismo y lo podemos visualizar como 0.3 periódico y bueno, hemos visto que esta expresión de aquí la podemos ver como 1/3, que por cierto esto es una fracción o es una razón entre dos números enteros, entre el 1 y el 3 y así puedo tal vez pensar en... déjame cambiar de color... se me ocurre 0.6 periódico que también hemos visto que es lo mismo que 2/3 y así puedo tomar varios de estos decimales que se repiten y de hecho todos los decimales que se repiten siempre los podemos ver como números racionales, siempre hay forma de escribirlos como la razón de 2 enteros, sea cual sea, si nosotros tenemos, no sé, se me ocurre, un número decimal que después de un cierto tiempo se empieza a repetir, entonces lo podemos escribir como una fracción y se puede repetir no sé, después de 2 decimales, 3 decimales o un millón de decimales, no importa la cantidad de decimales que sean, mientras encontremos que se empieza a repetir exactamente el mismo patrón entonces nosotros podemos decir que es un número racional. Y entonces me va s a decir, ¿y cuáles son los número que no son racionales? Ya tenemos aquí a todos los números naturales, de hecho a los enteros, también a aquellos que tienen punto decimal finito, es decir que tarde o temprano acaba su punto decimal, también los que tienen punto decimal infinito pero que se repiten, aquí es exactamente lo mismo, el punto decimal que se repite, todos estos son números racionales, entonces cuales son los que no son racionales y bueno, etiquetar a los números racionales le llevo mucho tiempo a muchas personas, para saber después cuales son los que no son racionales, así que qué te parece si movemos esto un poco y vamos a movernos justo por aquí vamos a fijarnos en esos números que tenemos aquí a la izquierda, estos son unos números irracionales... y déjame ponerlo aquí... números... números irracionales... irracionales y seguramente tú me vas a decir, oye Sal, ¿qué es un número irracional? Bueno, pues aquí tenemos a los ejemplos más típicos de números irracionales, por ejemplo pi, que es la razón entre la circunferencia y el diámetro del círculo, es un número que tenemos aquí, el cual tiene un punto decimal infinito, tiene infinidad de números decimales y nunca se repiten. "e", "e" tiene un número infinito de decimales y nunca se repiten, que por cierto "e" está presente e n el interés compuesto continuo o en el análisis complejo, son dos de los lugares en donde podemos encontrar a este valor "e", raíz de 2 es un número irracional, tiene un número decimal infinito y nunca se repite... Phi, el número áureo, la proporción áurea, la razón dorada, la divina proporción, es un número que tienen una cantidad de decimales infinitos y nunca se repiten, así que estos números que aparecen mucho en la naturaleza, muchos de estos números son irracionales y bueno, entonces seguramente me dirás, ok, que padres están estos números irracionales, estos tipos de números especiales, pero Sal, hay muchos más números racionales, que números irracionales como tus cuatro ejemplos que tienes aquí. Pero lo importante mencionar aquí, es que tenemos, sí, este tipo de números exóticos aquí, pero realmente no son bichos raros, realmente no son números raros o especiales o poco comunes, porque lo padre de esto es que siempre hay un número irracional entre cualesquiera dos números racionales, por ejemplo si yo pongo aquí, dos números racionales, un racional aquí, racional 1, un racional aquí, un racional 2, siempre podemos encontrar entre ellos un número irracional y bueno, esto lo vamos a probar con mucha más calma en uno de los siguientes videos. Por ahora lo que quiero que te des cuenta es que tenemos muchos, pero muchos números irracionales, ya con esto te puedes dar una idea de que tenemos una infinidad de números irracionales, esto nos da la profundidad del asunto en el que estamos y no solo eso, las raíces de los números primos, por ejemplo, aquí tengo la raíz de 2, es su número irracional, pero es la raíz de cualquier número primo, también es un número irracional, pero no solo eso, si nosotros tomamos un número racional y lo sumamos con un número irracional, el resultado va a ser un número irracional y esto está increíble porque aquí cada vez empieza a verse más grande todo esto y no solamente la suma, si nosotros nos tomamos un número racional y lo multiplicamos por un número irracional, nos va a dar también un número irracional. Así que imagínate tenemos un montón, un montón, pero un montón de números irracionales allá afuera.