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Demostración: las raíces cuadradas de números primos son irracionales

Transcripción del video

Bueno, pues ya probamos que raíz de 2 es un número irracional, que te parece si ahora pensamos en probar, en demostrar que raíz de "p" es también un número irracional, si "p" es un número primo. Entonces vamos a ponerlo aquí, "p" es primo, ok. "p" es un número primo y lo que quiero probar es que raíz de "p" es un número irracional. Y voy a utilizar algo muy parecido a la demostración que hice acerca de que de raíz de 2 es un número irracional. Así que si no has visto el video, ve a verlo, no te lo pierdas porque creo que vamos a utilizar cosas muy parecidas. "p" es primo y bueno, vamos a ver que pasa con la raíz de "p", quiero analizar que va a pasar con la raíz de "p", si es irracional o racional. Y bueno, voy a seguir la misma idea que hice en el video pasado y por lo tanto voy a suponer que raíz de "p" es un número racional. Y con esto, voy a ver si puedo llegar a un absurdo y si llego a un absurdo, entonces tendré la demostración por contradicción, si "p" no es un número racional, entonces debe de ser irracional. Pero bueno, como voy a demostrar que raíz de "p", es un número irracional y lo voy a demostrar por contradicción, pues vamos a suponer lo contrario, vamos a suponer que raíz de "p" es racional... es racional. Y recuerda que voy a suponer esto para llegar a la contradicción. Ahora, si raíz de "p" es racional, entonces podemos decir que raíz de "p"... y lo voy a poner con este color... que raíz de "p" lo podemos ver como "a", como "a" entre "b"... como "a" entre "b", ok, como una fracción, donde "a" y "b" son números enteros, como una razón entre números enteros, pero de igual manera, voy a pedir algo muy importante de esta fracción, que sea una fracción irreducible, que ya no se pueda reducir más. Tú me vas a decir, bueno es que hay fracciones que si se pueden reducir, si esta fracción se pudiera reducir, redúcela todo lo que se puede, todo lo que se puede, cuantos pasos sean necesarios hasta obtener una fracción irreducible, que ya no se puede reducir más es decir que "a" y "b" sean primos relativos entre sí o sean co-primos. Y por lo tanto, esto de aquí... esto de aquí me va a dar una fracción que no se puede reducir... no se puede... no se puede reducir... reducir. Y de igual manera en la demostración que raíz de 2 es irracional, aquí está la clave, aquí hay algo importantísimo para entender la demostración de que la raíz de "p" es irracional. Ok, "a" entre "b" no se puede reducir y eso quiero decir que tanto "a" como "b" no tienen factores en común, lo voy a poner aquí... "a" y "b"... y "b" no tienen factores en común... no tienen... tienen factores en común... factores en común excepto 1... excepto el 1. Ok, ahora, ya que se que "a" y "b" son primos relativos entre sí y que esta fracción no se puede reducir, entonces voy a utilizar un poco de manipulación algebraica para decir que "p"... que "p" lo podemos escribir como "a" cuadrada... ok, ¿dónde está el color de "a"? "a" cuadrada, ok, lo único que estoy haciendo es elevando al cuadrado ambos lados de esta igualdad, aquí el cuadrado con la raíz se va y del otro lado me queda "a" cuadrada entre "b" cuadrada... entre "b" elevado al cuadrado... elevado al cuadrado. Y esto lo escribo así porque de igual manera como vimos en el video pasado, de aquí voy a despejar a "a" cuadrada y entonces voy a decir que esto es exactamente lo mismo que poner que "b" cuadrada, "b" cuadrada por "p", ok... por "p"... y la "p" la voy a poner aquí, es exactamente lo mismo que "a" cuadrada... que "a" cuadrada... lo único que hice fue multiplicar por "b" cuadrada de ambos lados de esta ecuación, es decir que "p" por "b" cuadrada es igual a "a" cuadrada, ok. ¿Y eso de qué me sirve? ¡Ah! porque aquí lo que me está diciendo, es que "a"... a ver, lo voy a poner así... de aquí puedo concluir que "a" cuadrada, éste de aquí, es un múltiplo de "p"... es un múltiplo de "p". ¿Y cómo podemos saber eso? Bueno, se nota desde aquí, si yo tengo a "p" multiplicado por un número entero y "b" cuadrada es un número entero, entonces esto me da un múltiplo de "p" y si esto es igual a "a" cuadrada, eso quiere decir que "a" cuadrada, es un múltiplo de "p", ok. Muy parecido a lo que hicimos en el video pasado, "a" cuadrada es un múltiplo de "p", ok y entonces esto quiere decir que "a" es múltiplo de "p", pues veamos... Imagínate que yo tengo aquí a "a", "a" va de color salmón entonces aquí voy a poner "a" y voy a descomponer en factores primos a "a", entonces si yo pongo la descomposición en factores primos de "a", supongamos que es... para no ponerle "p" de primo voy a ponerle, "f", "f1" es un primo, "f2" es otro primo, "f3" es otro primo y recuerda que todo número lo podemos descomponer en factores primos hasta llegar a "fn", todos estos son números primos y es lo que vale "a". A "a" lo estoy factorizando en números primos, Ahora, ¿cómo podríamos escribir a "a" cuadrada ya teniendo esto de aquí? Bueno, pues "a" cuadrada es exactamente lo mismo y podré decir que esto es... déjame copiar y pegar para que no se haga tan largo todo esto, lo que voy a hacer es multiplicar éste dos veces, así que lo voy a poner una vez por aquí, ok, y lo voy a poner otra vez por aquí, ok, vamos a ver si sí me cabe o no... no, no me cabe... entonces lo que voy a hacer, es mover un poco éste de aquí... vamos a moverlo... ok, éste de aquí lo voy a mover un poco... ctrl + x... y ahora lo voy a mover un poco... lo voy a mover para acá, ok... "a" cuadrada lo puedo ver así, estos multiplicando a estos, así que voy a tomar a estos de aquí y los voy a mover para acá... ya, perfecto, ahora si me caben... Y lo que estoy haciendo es tomándome "a" cuadrada y "a" cuadrada es lo mismo que "a" por "a", o espera, y por lo tanto es lo mismo que estos que multiplican a su vez a estos mismo. Y bueno, inclusive lo podríamos acomodar de la siguiente manera, podríamos decir que "a" cuadrada es exactamente lo mismo, ok, que... y vamos a acomodarlo así... que "f1"... "f1" por "f1", ok, por "f2" por "f2", ok, ésta es una "f", ok, y a estos puntitos vamos a multiplicarlos por todos los demás y después por "fn" por "fn". Ahora, lo que quiero que veas es que aquí dice, justo aquí dice que "a" cuadrada tiene como uno de los factores, como uno de todos estos primos a "p", si "a" cuadrada lo podemos ver como "p", que multiplica a "b" cuadrada, entonces "p" debe de ser alguno de todos estos, podría ser éste de aquí o no sé, éste de aquí o no sé, éste de aquí... alguno de todos estos tiene que ser forzosamente "p", porque a "a" cuadrada lo podemos ver de esta manera y "p" es un número primo, por lo tanto, supongamos que éste es "p", digo, no sé bien cual sea el valor de "p" pero vamos a suponer que éste es "p", si éste es "p", entonces "f2" también es "p", ok, y de igual manera si es "f1" ó "fn" ó "f3" el que tú quieras tomar. Si "f2" es "p", entonces "f2" también es "p" y eso quiero decir que "a"... "a" también tiene como factor a "p", porque aquí está "f2" y entonces aquí justo es el momento en donde vamos a poder concluir y déjame ponerlo aquí, vamos a poder concluir que "a" es múltiplo de "p"... es múltiplo de "p" y esto es importantísimo, "a" es múltiplo de "p" porque tiene a "p" como un factor, cuando descomponemos a "a" en números primos o dicho de otra manera, podríamos decir que a "a"... vamos a ponerlo aquí... a "a" lo puedo ver como un cierto número... le voy a poner "k"... "k" por "p"... por "p", ok. Si "a" es múltiplo de "p", entonces podemos ver a "a" como "k" por "p". Ok, una vez que ya tenemos que éste es un posible valor para "a", vamos a sustituirlo justo aquí y vamos a hacer lo mismo que hicimos cuando nosotros tomamos la raíz de 2, voy a sustituir éste de aquí, aquí, a ver que me queda. Y me quedaría que "p" por "b2"... ok, ¿dónde está el color de "b"? aquí... por "b" cuadrada es exactamente lo mismo que "a" cuadrada, pero "a" cuadrada lo podemos ver como "kp" elevado al cuadrado... aquí adentro voy a poner a "k" por "p"... a "k" por "p", ok, y bueno, si yo elevo al cuadrado a esto, me va a quedar que esto es exactamente lo mismo que "p" cuadrada por "k" cuadrada... "k" cuadrada por "p" cuadrada, estoy distribuyendo este cuadrado... y de este lado tengo a "p" por "b" cuadrada... a "p" por "b" cuadrada, ¿y de aquí qué crees que voy a hacer? Bueno, pues lo que voy a hacer es despejar a "b" cuadrada y para esto que te parece si divido todo entre "p", entonces me va a quedar que "b" cuadrada... me va a quedar que "b" cuadrada lo podemos ver como "k" cuadrada... "k" cuadrada por "p"... por "p"... y esto porque estoy dividiendo todo entre "p". Ok, y con esto estoy diciendo... entonces con esto... y déjame poner aquí una flecha para que no nos confundamos, que "b" cuadrada... "b" cuadrada es múltiplo de "p"... múltiplo de "p" y estoy diciendo esto por la misma razón que "a" cuadrada es múltiplo de "p", porque podemos escribir a "a" cuadrada como "p" por "b" cuadrada y aquí a "b" cuadrada la podemos escribir como "k" cuadrada por "p" y si "b" cuadrada es múltiplo de "p", eso quiere decir que... déjame ponerlo para acá arriba... eso quiere decir que "b" es múltiplo... múltiplo de "p"... de "p"... y justo en este momento es donde cae la contradicción, no se puede que "a" sea múltiplo de "p" y que "b" sea múltiplo de "p" y que ésta sea una fracción irreducible, porque precisamente habíamos dicho que "a" y "b" no tienen factores en común excepto el 1 y "p" no es 1 porque es un número primo y acabamos de ver que tanto "a" como "b" tienen como factor a "p" y con esto llegamos a la contradicción, no puede pasar que no tengan factores en común y tengan como factor a "p", entonces es justo en este momento donde ya podemos concluir que la raíz de "p", no debe de ser racional... déjame quitar esto de aquí... no debe de ser racional, la raíz de "p" debe de ser forzosamente irracional... irracional, que es justo lo que queríamos probar. Si nosotros llegamos a una contradicción suponiendo que la raíz de "p" es racional, entonces tenemos que decir que la raíz de "p" es irracional, que era justo al resultado que queríamos llegar. De lujo.