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Demostración: hay un número irracional entre cualesquiera dos números racionales

Transcripción del video

En este video quiero demostrarte que existen un montón de números irracionales y además que siempre entre cualesquiera dos racionales, cualesquiera dos racionales que tú te tomes, podemos encontrar un irracional. Así que vamos a verlo primero de una manera visual para que tú entiendas a que me refiero. Imagínate que aquí tengo una recta numérica, ok... va para acá... va para acá... ok... e imagínate que yo me tomo dos números irracionales, los números irracionales que yo quiera, se me antoja tomarme éste de aquí, va a ser mi racional número 1, ok, me voy a tomar otro racional por aquí, éste, va a ser mi racional número 2, ok, cuales sean los dos racionales que yo me tome, entre ellos siempre va a existir un irracional... siempre va a existir un irracional... y justo eso es lo que quiero ver en este video, que entre cualesquiera dos racionales, existe un irracional y no forzosamente tiene que estar justo en este punto, puede estar en cualquier parte entre estos dos racionales. Y eso es bastante impresionante, porque fíjate que nosotros sabemos que tenemos un buen de racionales, ahora, si nosotros sabemos que tenemos un buen de racionales, de hecho tenemos una infinidad de racionales, bueno, pues en medio siempre de cualesquiera dos racionales podemos encontrar un irracional, lo que quiere decir que hay una infinidad también de irracionales, son un montón. Ahora, para llegar a la demostración de justo esto que te estoy contando, que te parece si empezamos con un intervalo que conozcamos muy bien, me voy a tomar el intervalo de 0 y 1. Es decir, 0 nosotros sabemos que es más chico que 1... bueno, déjame ponerlo por acá... aquí voy a poner a 1... a 1... Ok y si yo te pregunto si existe algún irracional entre 0 y 1, seguramente tú me vas a decir que si lo hay, un ejemplo es 1 entre raíz de 2... 1 entre raíz de 2, que es exactamente lo mismo que raíz de 2... raíz de 2 entre 2, que por cierto, es aproximadamente... y bueno, es aproximadamente porque es número irracional... es aproximadamente 0.7071067811... y muchos decimales más, recuerda que como es un irracional tiene una infinidad de decimales, pero bueno, esto es lo que es aproximadamente raíz de 2 entre 2 y este número claramente está entre 0 y 1, así que ya sabemos que existe al menos uno. Y por lo tanto, lo voy a poner aquí, raíz de 2 sobre 2... mejor lo voy a poner como 1 entre raíz de 2, bueno, al menos ya sabemos que en el intervalo 0 y 1 existe al menos un irracional que es justo éste de aquí. Ahora, basándome en esto que ya sabemos, en el intervalo 0 a 1, voy a construir un irracional que esté justo entre estos dos racionales, así que para eso quiero que te des cuenta de algo muy importante, si yo me tomo "r", el racional 2 y a esto le quito... a esto le quito... déjame cambiar de color... le voy a quitar el racional 1... el racional 1, bueno, pues esto es mayor que 0, esto es más grande que 0 y nosotros nos podemos dar cuenta precisamente porque así nos estamos tomando estos dos racionales, estamos diciendo que "r2" es más grande que "r1". Ok, pero éste de aquí me va a servir bastante, porque ahora voy a multiplicar todo por justo esto que está aquí, voy a multiplicar la parte derecha y la parte izquierda por esta diferencia de racionales que tengo aquí. Y por lo tanto me va a quedar... vamos a ponerlo así... 0... Oh no, espera... déjame cambiar de herramienta... me va a quedar que 0 por éste de aquí, por "r2" menos "r1"... que lo voy a poner justo por aquí, ok y los voy a poner multiplicando así que... déjame tomar este color... 0 que multiplica a estos dos, ok, esto es menor... y sabemos que la desigualdad se conserva porque tenemos un número positivo y como tenemos un número positivo las desigualdades se conservan... esto es menor que 1 entre raíz de 2... 1 entre raíz de 2, ok, esto que a su vez multiplica a éste, porque recuerda que voy a multiplicar todo por esto... entonces... déjame ponerlo que lo estamos multiplicando... para esto déjame agarrar aquí, este color y los voy a pasar multiplicando y esto a su vez es menor que 1, 1 por estos de aquí, lo voy a poner así, que 1, 1 por... vamos a ponerlos aquí... otra vez por estos dos de aquí... Ahora, date cuenta que 0 por "r2" menos "r1", bueno pues esto es lo mismo que 0, por lo tanto podríamos quitar esto de aquí... déjame quitarlo... lo voy a quitar, ok... y solamente quedarnos con 0, esto es 0. Y por otra parte, aquí tengo 1 por estos de aquí, así que mejor déjame quitar esto de aquí... voy a quitar esto de aquí... y solamente voy a poner "r2" menos "r1", ok, que es justo lo que nosotros queríamos, "r2" menos "r1". Ahora, esto ya se va pareciendo un poco a un número irracional que esté entre estos 2 y si te das cuenta, lo que nos falta es aquí tener "r2" y aquí tener a "r1", así que qué te parece si sumo a "r1" de todos los lados de esta desigualdad, voy a sumar a "r1" aquí, aquí también voy a sumar a "r1" y aquí también voy a sumar a "r1", de tal manera que 0 más "r1" me va a quedar solamente "r1", mi racional 1, que por cierto me lo tomé de una forma aleatoria, esto es menor ¿que quién?, bueno pues aquí me queda, "r1"... "r1" más 1 entre la raíz de 2... 1 entre la raíz de 2... que a su vez multiplica a "r2" menos "r1", que a su vez multiplica a lo que teníamos aquí... ok, perfecto, éste lo voy a poner aquí y voy a cerrar mi paréntesis, así que déjame poner esto de aquí y voy a cerrar mi paréntesis... y de este lado, del lado derecho me va a quedar "r2" más "r1" menos "r1", de tal manera que éste y éste se van y solamente me queda "r2", entonces del lado derecho me queda solamente "r2". Ahora, date cuenta de lo que estoy diciendo, estoy diciendo algo muy importante, que entre "r1", es decir, entre este racional que me acabo de tomar y "r2" este racional que me acabo de tomar, estoy construyendo un irracional que está en alguna parte entre ellos dos. Ahora, lo padre es que "r1" y "r2", los tomamos de manera arbitraria, son cualquier par de racionales que tú quieras y este número de aquí, este número de aquí es un número irracional, ¿y cómo podemos ver eso? Bueno, porque "r2" menos "r1", éste, es un número irracional y recuerda que un número irracional cuando lo multiplicamos por un número racional... éste sabemos que es irracional... un racional por un irracional, me da un número irracional, así que todo esto de aquí es un número irracional y si a esto le sumamos un número racional, llegamos a un número irracional. Justo en los videos pasados, hemos probado que cuando nosotros sumamos un racional con un irracional me da un irracional y cuando nosotros multiplicamos un irracional por un racional, me da también un irracional. Así que, esto de aquí es irracional... irracional, que es justo a lo que yo quería llegar, a que en el intervalo entre "r1" y "r2" exista al menos un irracional, que es este de aquí.