Repasa sucesiones geométricas y resuelve varios problemas que las involucran.

Partes y fórmulas de sucesiones geométricas

En sucesiones geométricas, la razón entre términos consecutivos es siempre la misma. Llamamos a esta razón la razón común.
Por ejemplo, la razón común de la siguiente sucesión es 22:
×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
1,1,2,2,4,4,8,...8,...
Las fórmulas de una sucesión geométrica nos dan a(n)a(n), el n.on.^{\text{o}} término de la sucesión.
Esta es la fórmula explícita de la sucesión geométrica cuyo primer término es k\blueD k y cuya razón común es r\maroonC r:
a(n)=krn1a(n)=\blueD k\cdot\maroonC r^{n-1}
Esta es la fórmula recursiva de esa sucesión:
{a(1)=ka(n)=a(n1)r\begin{cases}a(1) = \blueD k \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC r \end{cases}
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Extender sucesiones geométricas

Supón que queremos extender la sucesión 54,18,6,...54,18,6,... Podemos ver que cada término es el término anterior ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}:
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,...6,...
Así que simplemente multiplicamos por esa razón para encontrar que el término siguiente es 22:
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,6,2,...2,...
¿Quieres intentar resolver más problemas similares? Revisa este ejercicio.

Escribir fórmulas recursivas

Supón que queremos escribir una fórmula recursiva para 54,18,6,...54,18,6,... Ya sabemos que la razón común es ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}}. También podemos ver que el primer término es 54\blueD{54}. Por lo tanto, esta es una fórmula recursiva para la sucesión:
{a(1)=54a(n)=a(n1)13\begin{cases}a(1) = \blueD{54} \\\\ a(n) = a(n-1)\cdot\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
¿Quieres intentar resolver más problemas similares? Mira este ejercicio.

Escribir fórmulas explícitas

Supón que queremos escribir una fórmula explícita para 54,18,6,...54,18,6,... Ya sabemos que la razón común es ×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}} y que el primer término es 54\blueD{54}. Por lo tanto, esta es una fórmula explícita para la sucesión:
a(n)=54(13)n1a(n)=\blueD{54}\cdot\left(\maroonC{\dfrac{1}{3}}\right)^{n-1}
¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.
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