Repaso sobre el método de eliminación (sistemas de ecuaciones lineales)

El método de eliminación es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En este artículo revisamos esta técnica con algunos ejemplos y te damos la oportunidad de intentar el método por ti mismo.

¿Cuál es el método de eliminación?

El método de eliminación es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estudiémoslo paso a paso con un par de ejemplos.

Ejemplo 1

Nos piden resolver este sistema de ecuaciones:
2y+7x=55y7x=12\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 5y-7x &= 12 \end{aligned}
Observamos que la primera ecuación tiene un término 7x7x y que la segunda ecuación tiene un término 7x-7x. Estos términos se cancelarán si sumamos las ecuaciones, es decir, eliminaremos los términos en xx:
Al despejar yy, obtenemos:
7y+0=77y=7y=1\begin{aligned} 7y+0 &=7\\\\ 7y &=7\\\\ y &=\goldD{1} \end{aligned}
Después de sustituir este valor en nuestra primera ecuación, despejamos la otra variable:
2y+7x=521+7x=52+7x=57x=7x=1\begin{aligned} 2y+7x &= -5\\\\ 2\cdot \goldD{1}+7x &= -5\\\\ 2+7x&=-5\\\\ 7x&=-7\\\\ x&=\blueD{-1} \end{aligned}
La solución del sistema es x=1x=\blueD{-1}, y=1y=\goldD{1}.
Podemos comprobar nuestra solución al sustituir estos valores en las ecuaciones originales. Intentémoslo con la segunda ecuación:
5y7x=12517(1)=?125+7=12\begin{aligned} 5y-7x &= 12\\\\ 5\cdot\goldD{1}-7(\blueD{-1}) &\stackrel ?= 12\\\\ 5+7 &= 12 \end{aligned}
Sí, la solución es correcta.
Si te sientes inseguro de por qué este proceso funciona, revisa este video introductorio para una exposición detallada paso a paso.

Ejemplo 2

Nos piden resolver este sistema de ecuaciones:
9y+4x20=07y+16x80=0\begin{aligned} -9y+4x - 20&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Podemos multiplicar la primera ecuación por 4-4 para obtener una ecuación equivalente con el término 16x\purpleD{-16x}. Nuestro nuevo (¡pero equivalente!) sistema de ecuaciones se ve así:
36y16x+80=07y+16x80=0\begin{aligned} 36y\purpleD{-16x}+80&=0\\\\ -7y+16x-80&=0 \end{aligned}
Al sumar las ecuaciones para eliminar los términos en xx, obtenemos:
Al despejar yy, obtenemos:
29y+00=029y=0y=0\begin{aligned} 29y+0 -0&=0 \\\\ 29y&=0 \\\\ y&=\goldD 0 \end{aligned}
Después de sustituir este valor en nuestra primera ecuación, despejamos la otra variable:
36y16x+80=036016x+80=016x+80=016x=80x=5\begin{aligned} 36y-16x+80&=0\\\\ 36\cdot 0-16x+80&=0\\\\ -16x+80&=0\\\\ -16x&=-80\\\\ x&=\blueD{5} \end{aligned}
La solución del sistema es x=5x=\blueD{5}, y=0y=\goldD{0}.
¿Quieres ver otro ejemplo de cómo resolver un problema complicado con el método de eliminación? Revisa este video.

Práctica

Problema 1
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
3x+8y=152x8y=10\begin{aligned} 3x+8y &= 15\\\\ 2x-8y &= 10 \end{aligned}
x=x=
y=y=
¿Quieres más práctica? Revisa estos ejercicios:
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