Repaso sobre el método de sustitución (sistemas de ecuaciones)

El método de sustitución es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones. En este artículo repasamos la técnica con muchos ejemplos y algunos problemas de práctica para que intentes tú mismo.

¿Cuál es el método de sustitución?

El método de sustitución es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estudiemos paso a paso un par de ejemplos.

Ejemplo 1

Nos piden resolver este sistema de ecuaciones:
3x+y=3x=y+3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ x&=-y+3 \end{aligned}
La segunda ecuación ya tiene despejada la variable xx, por lo que podemos sustituir la expresión y+3-y+3 en vez de xx en la primera ecuación:
3x+y=33(y+3)+y=33y+9+y=32y=12y=6 \begin{aligned} 3\blueD{x}+y &= -3\\\\ 3(\blueD{-y+3})+y&=-3\\\\ -3y+9+y&=-3\\\\ -2y&=-12\\\\ y&=6 \end{aligned}
Al sustituir este valor en alguna de nuestras ecuaciones originales, digamos x=y+3x = -y +3, podemos determinar el valor de la otra variable:
x=y+3x=(6)+3x=3\begin{aligned} x &= -\blueD{y} +3\\\\ x&=-(\blueD{6})+3\\\\ x&=-3 \end{aligned}
La solución del sistema de ecuaciones es x=3x=-3, y=6y=6.
Podemos comprobar nuestro trabajo al sustituir estos números en las ecuaciones originales. Intentemos con 3x+y=33x+y = -3.
3x+y=33(3)+6=?39+6=?33=3\begin{aligned} 3x+y &= -3\\\\ 3(-3)+6&\stackrel ?=-3\\\\ -9+6&\stackrel ?=-3\\\\ -3&=-3 \end{aligned}
Sí, nuestra solución es correcta.

Ejemplo 2

Nos piden resolver este sistema de ecuaciones:
7x+10y=362x+y=9\begin{aligned} 7x+10y &= 36\\\\ -2x+y&=9 \end{aligned}
Para poder usar el método de sustitución, necesitaremos despejar xx o yy de alguna de las ecuaciones. Despejemos yy en la segunda ecuación:
2x+y=9y=2x+9\begin{aligned} -2x+y&=9 \\\\ y&=2x+9 \end{aligned}
Ahora podemos sustituir la expresión 2x+92x+9 en vez de yy en la primera ecuación de nuestro sistema:
7x+10y=367x+10(2x+9)=367x+20x+90=3627x+90=363x+10=43x=6x=2 \begin{aligned} 7x+10\blueD{y} &= 36\\\\ 7x+10\blueD{(2x+9)}&=36\\\\ 7x+20x+90&=36\\\\ 27x+90&=36\\\\ 3x+10&=4\\\\ 3x&=-6\\\\ x&=-2 \end{aligned}
Al sustituir este valor en alguna de nuestras ecuaciones originales, digamos y=2x+9y=2x+9, podemos determinar el valor de la otra variable:
y=2x+9y=2(2)+9y=4+9y=5\begin{aligned} y&=2\blueD{x}+9\\\\ y&=2\blueD{(-2)}+9\\\\ y&=-4+9 \\\\ y&=5 \end{aligned}
La solución del sistema de ecuaciones es x=2x=-2, y=5y=5.
¿Quieres aprender más sobre el método de sustitución? Revisa este video.

Practica

¿Quieres más práctica? Revisa este ejercicio.
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