Aprende sobre la forma pendiente-ordenada al origen de las ecuaciones lineales de dos variables, y cómo interpretarla para encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta que representa.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

  • Qué es la forma pendiente-ordenada al origen de las ecuaciones de dos variables.
  • Cómo encontrar la pendiente y la ordenada al origen de una recta a partir de su forma pendiente-ordenada al origen.
  • Cómo encontrar la ecuación de una recta dadas su pendiente y su ordenada al origen.

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen?

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales. Tiene la siguiente estructura general (redoble de tambores...):
y=mx+b\Large y=\maroonC{m}x+\greenE{b}
Aquí, m\maroonC{m} y b\greenE{b} pueden ser cualesquiera dos números reales. Por ejemplo, estas son ecuaciones lineales en forma pendiente-ordenada al origen:
  • y=2x+1y=2x+1
  • y=3x+2.7y=-3x+2.7
  • y=10100xy=10-100x
    Es verdad que esta ecuación es diferente de las anteriores, pues el término constante —es decir, el número sin variable— está primero que el término en xx.
    Sin embargo, como la suma es conmutativa, es esencialmente la misma forma. Puedes decir que esta ecuación es de la forma y=b+mxy=\greenE{b}+\maroonC{m}x, en vez de y=mx+by=\maroonC{m}x+\greenE{b}, pero ambas significan lo mismo.
Por otro lado, estas ecuaciones lineales no están expresadas en la forma pendiente-ordenada al origen:
  • 2x+3y=52x+3y=5
  • y3=2(x1)y-3=2(x-1)
  • x=4y7x=4y-7
La forma pendiente-ordenada al origen es la más destacada de las representaciones que hay para las ecuaciones lineales. Para saber por qué, vayamos más a fondo.

Los coeficientes en la forma pendiente-ordenada al origen

Además de limpia y sencilla, la forma pendiente-ordenada al origen tiene la ventaja de que exhibe las dos características principales de la recta que representa:
  • La pendiente es m\maroonC{m}.
  • La coordenada yy de la intersección con el eje yy es b\greenE{b}. En otras palabras, la recta se interseca con el eje yy en (0,b)(0,\greenE{b}).
Por ejemplo, la recta y=2x+1y=\maroonC{2}x\greenE{+1} tiene pendiente 2\maroonC{2} y se interseca con el eje yy en (0,1)(0,\greenE{1}):
El hecho de que esta representación dé la pendiente y la ordenada al origen (es decir, la intersección de la recta con el eje yy) ¡es la razón por la cuál se llama forma pendiente-ordenada al origen!

Comprueba tu comprensión

Problema 1
¿Cuál es la pendiente de la recta representada por y=5x7y=5x-7?
Problema 2
¿Cuál es la pendiente de la recta representada por y=x+9y=x+9?
Problema 3
¿Cuál es la ordenada al origen de la recta representada por y=6x11y=-6x-11?
Escoge 1 respuesta:
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Problema 4
¿Cuál es la ordenada al origen de la recta representada por y=4xy=4x?
Escoge 1 respuesta:
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problema 5
¿Cuál es la pendiente de la recta representada por y=18xy=1-8x?
Problema 6
¿Cuáles rectas se intersecan con el eje yy en el punto (0,4)(0,4)?
Elige todas las respuestas adecuadas:
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Pregunta para reflexionar
¿Cómo encontramos la pendiente de una recta que está dada en forma pendiente-ordenada al origen?
Escoge 1 respuesta:
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Problema de desafío 1
¿Cuáles de estas pueden ser la ecuación de la recta?
Escoge 1 respuesta:
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Problema de desafío 2
Escribe la ecuación de una recta cuya pendiente es 1010 y se interseca con el eje yy en (0,20)(0,-20).

¿Por qué funciona esto?

Tal vez te preguntes cómo es que en la forma pendiente-ordenada al origen, m\maroonC{m} es la pendiente y b\greenE{b} es la intersección con el eje yy.
¿Pudiera ser una suerte de magia? Bueno, ciertamente no es magia. En las matemáticas siempre hay una justificación. En esta sección trataremos de explicar esta propiedad tomando la ecuación y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} como ejemplo.

Por qué b\greenE{b} es el valor de la ordenada al origen

En la intersección con el eje yy, el valor de xx siempre es cero. Así, si queremos encontrar la ordenada al origen de la ecuación y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1}, debemos sustituir x=0x=0 y determinar yy.
y=2x+1=20+1Sustituye x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Sustituye }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Observamos que en la intersección con el eje yy, el término 2x\maroonC{2}x vale cero y, por lo tanto, y=1y=\greenE{1}.
Si queremos encontrar la intersección con el eje yy de y=mx+by=\maroonC{m}x+\greenE{b}, tenemos que sustituir x=0x=0 y determinar yy.
y=mx+b=m0+bSustituye x=0.=0+b=b\begin{aligned} y&=\maroonC{m}x+\greenE{b} \\\\ &=\maroonC{m}\cdot 0+\greenE{b}&\text{Sustituye }x=0. \\\\ &=0+\greenE{b} \\\\ &=\greenE{b} \end{aligned}
Observamos que en la intersección con el eje yy, mx\maroonC{m}x se vuelve cero y, por lo tanto, y=by=\greenE{b}. Es esta la razón por la cual b\greenE{b} es la ordenada al origen.

Por qué m\maroonC{m} es el valor de la pendiente

Refresquemos nuestra memoria de qué es exactamente la pendiente. La pendiente es la razón del cambio en yy sobre el cambio en xx entre cualesquiera dos puntos en la recta.
Pendiente=Cambio en yCambio en x\text{Pendiente}=\dfrac{\text{Cambio en }y}{\text{Cambio en }x}
Si consideramos dos puntos donde el cambio en xx es de exactamente 11 unidad, entonces el cambio en yy será igual a la pendiente.
Pendiente=Cambio en y1=Cambio en y\text{Pendiente}=\dfrac{\text{Cambio en }y}{1}=\text{Cambio en }y
Ahora veamos qué pasa con los valores de yy en la ecuación y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} conforme los valores de xx crecen 11 unidad.
xxyy
001+02\greenE{1}+0\cdot\maroonC{2}=1= \greenE{1}
111+12\greenE{1}+1\cdot\maroonC{2}=1+2=\greenE{1}+\maroonC{2}
221+22\greenE{1}+2\cdot\maroonC{2}=1+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
331+32\greenE{1}+3\cdot\maroonC{2}=1+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
441+42\greenE{1}+4\cdot\maroonC{2}=1+2+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
Observamos que cada vez que xx se incrementa 11 unidad, yy se incrementa 2\maroonC{2} unidades. Esto sucede porque xx determina el múltiplo de 2\maroonC{2} con el que se incrementa yy.
Como mencionamos anteriormente, el cambio en yy correspondiente a un incremento de 11 unidad en xx es igual a la pendiente de la recta. Por esta razón, la pendiente es 2\maroonC{2}.
Veamos qué pasa con los valores de yy en la ecuación general y=mx+by=\maroonC{m}x+\greenE{b} conforme los valores de xx crecen 11 unidad.
xxyy
00b+0m\greenE{b}+0\cdot\maroonC{m}=b= \greenE{b}
11b+1m\greenE{b}+1\cdot\maroonC{m}=b+m=\greenE{b}+\maroonC{m}
22b+2m\greenE{b}+2\cdot\maroonC{m}=b+m+m=\greenE{b}+\maroonC{m}+\maroonC{m}
33b+3m\greenE{b}+3\cdot\maroonC{m}=b+m+m+m=\greenE{b}+\maroonC{m}+\maroonC{m}+\maroonC{m}
44b+4m\greenE{b}+4\cdot\maroonC{m}=b+m+m+m+m=\greenE{b}+\maroonC{m}+\maroonC{m}+\maroonC{m}+\maroonC{m}
Observamos que cada vez que xx se incrementa 11 unidad, yy se incrementa m\maroonC{m} unidades. Esto sucede porque xx determina el múltiplo de m\maroonC{m} con el que se incrementa yy.
Como mencionamos anteriormente, el cambio en yy que corresponde al incremento de xx en 11 unidad es igual a la pendiente de la recta. Por esta razón, m\maroonC{m} siempre es el valor de la pendiente.
Problema de desafío 3
Completa la ecuación de la recta.
y=y=
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