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Ejemplo resuelto: dominio y rango de funciones lineales definidas por partes

CCSS.Math:
HSF.IF.A.1

Transcripción del video

tenemos una función lineal por pedazos por aquí donde para distintos intervalos de nuestra variable x está definida por líneas distintas verdad aquí tenemos las funciones que nos definen líneas ahora bien dependiendo de qué intervalo consideremos tendremos una línea distinta así que primero pensemos en su dominio para después ver qué pasa con su rango o que ya entonces pensemos qué es lo que va a ocurrir con el dominio de esta función y recordemos que el dominio es el conjunto de valores de entrada que en este caso son las equis verdad para los que la función g está definida muy bien así que eso lo podemos checar del lado derecho en los intervalos que que nos definen las líneas para la variable x verdad por ejemplo x necesariamente tiene que ser mayor que menos seis verdad después sigue creciendo al menos tres alta por ejemplo aquí al menos tres y hasta cuatro después de 4 salta esta otra parte y llegamos hasta el valor 6 quiere decir que no está definida para ningún valor más chico o igual que menos seis verdad y eso nos lo da a esta parte de aquí arriba nuevamente no tenemos ningún agujero desde -6 hasta -3 después saltamos a esta segunda parte y subimos hasta 4 y después saltamos a esta otra parte y llegamos hasta seis verdad entonces no está definida para ningún valor de más chico igual que menos seis por otro lado aquí estamos viendo justamente que nuestro valor x tiene un tope máximo verdad que es justamente en 6 no no está definida esta función para valores más grandes que seis por ejemplo no está definida para siete no está definida para ocho simplemente no hay ninguna regla que nos diga cómo operar con x más grande que seis verdad y por supuesto no tenemos agujeros por ejemplo aquí llegamos hasta -3 y lo estamos incluyendo y en el siguiente paso ya no estamos incluyendo -3 verdad seguimos hasta cuatro no lo incluimos pero después sí lo incluimos en esta tercera regla de correspondencia así que podemos concluir fácilmente que el dominio digamos vamos a expresar lo de forma muy matemática el dominio son todos los valores de x tales que todos los valores de x que son números reales verdad que es un elemento de los números reales tales que menos seis es más chico que x eso es esta parte de acá arriba y es menor o igual x es menor o igual que seis que es esta parte de abajo ahora bien otra forma quizás no muy matemática de decir exactamente lo mismo es que x puede ser puede ser cualquier número real pueden ser cualquier número real y es esta parte de verdad cualquier número real tal que tal que hay que ponerle una restricción tal que menos seis es más chico que x y es menor o igual x es menor o igual que seis muy bien y ahí tenemos el dominio ahí tenemos el dominio de nuestra función ahora qué pasaría con el rango de nuestra función y recordemos que el rango son todos aquellos valores posibles que puede tomar nuestra función g verdad son todos los valores de salida que puede tomar la función g así que para determinar el rango tenemos que ver cuáles son todos los valores posibles que podemos tomar en cada uno de estos pedazos así que vamos a ponerlo así gdx en este pedazo puede ser mayor que algo y menor que algo aquí también puede ser mayor que algo y menor que algo y gdx puede ser mayor que algo o menor que algo y por supuesto a lo mejor en algunos casos puede incluir alguno de los dos extremos pero eso lo iremos viendo a medida que vayamos analizando esta función muy bien así que empecemos con esta primera parte muy bien si nos fijamos por ejemplo en esta primera función que define a gdx en este pedazo es x + 7 y si queremos ver por ejemplo el valor más chico que puede tener esta función pues corre corresponde justamente al valor más chico que podría alcanzar x verdad y por supuesto eso es cuando se aproxima tanto como queramos a -6 verdad entonces digamos que x valiera -6 ya sé que no está incluido en ese intervalo pero digamos que podemos aproximarnos mucho mucho menos seis en un caso digamos extremo que valiera -6 la función de aquí valdría menos seis +7 que es una verdad es uno entonces obviamente tenemos que el valor más chico corresponde al valor más chico que pueda tomar x porque estamos sumando verdad eso corresponde a sumarle lo menor que podamos sumar le digamos a 7 verdad ahora bien cuál sería el valor más grande pues cuando podamos sumarle lo más que podamos sumar que en este caso corresponde al valor menos tres verdad cuando sustituimos menos tres en esta expresión tendremos menos tres +7 nos da 4 y ojo algo que hay que notar es que en este caso sí podemos incluir el -3 verdad entonces la en este pedazo si alcanzamos el valor 4 en este caso no alcanzamos el valor uno porque nos aproximamos al menos seis pero no tomamos exactamente el valor de menos seis muy bien vamos a ver qué pasa con el siguiente caso muy bien aquí tenemos digamos esta función que define a este pedazo es 1 - x quiere decir que la función está restando x entonces para tener el mayor valor posible tenemos que respetar lo menos que se pueda porque por ejemplo si si restamos un número muy grande pues esto va a quedar muy muy pequeño verdad así que el valor más grande corresponde a cuando resta moss el valor más pequeño de x que en este caso digamos en un caso límite sería - tres muy bien entonces si sustituimos menos tres en esta expresión tendríamos uno menos -3 sería uno más tres que es 4 verdad entonces el valor más grande que podemos alcanzar es cuatro y no no lo alcanzamos exactamente verdad porque el -3 no está incluido sólo nos podemos aproximar muchísimo al 4 ahora cuál sería el valor más chico que toma esta expresión pues justamente cuando x es el más grande de verdad porque estaríamos restando un número muy grande un número muy grande y eso hace que esto en en total disminuya así que cuando tomamos el valor más grande que es cuatro tendríamos 1 - 4 sería menos tres a menos tres y no está incluido verdad porque otra vez el 4 no está incluido en este intervalo y vamos digamos al último pedazo y que tenemos dos por equis -11 entonces aquí nuevamente tenemos algo que a medida que digamos x es más grande entonces estaremos sumando mucho quiere decir que el valor más grande que puede adoptar esta expresión es cuando x es igual a 6 verdad cuando x es igual a 6 tendremos dos por seis que son 12 - 11 nos da uno verdad o no pero aquí el 6 y lo estamos incluyendo así que el 1 si lo podemos alcanzar ahora bien cuál es el valor más pequeño que puede tomar esta expresión pues justamente cuando x toma el valor más pequeño que en este caso sería 4 verdad si sustituimos con el valor de 4 tendremos dos por cuatro que son 8 - 11 que es menos tres a menos tres y nuevamente este valor si lo incluimos porque el 4 también está incluido en el intervalo así que con esto ya podemos determinar el rango el rango es el conjunto de todos los valores gdx que son el momentos de los números reales tal que qué bueno pues podemos notar que gdx puede ir desde -3 el valor más chico que puede tomar verdad -3 es menor o igual está incluido que gdx y por ejemplo aquí podemos tomar valores de -3 hasta 1 pero por ejemplo en la segunda parte podemos tomar también valores que incluyen menos tres hasta 1 y de hecho hasta cuatro pero por ejemplo en la primera parte podemos ir desde uno hasta cuatro verdad y uno no lo incluye aunque aquí sí está incluido entonces realmente tenemos todos los valores posibles desde -3 hasta cuatro y por supuesto el 4 está incluido porque aquí también lo estamos incluyendo el conjunto de valores que gdx puede tomar va desde -3 hasta cuatro incluyendo los a los dos