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Analizar gráficas de funciones exponenciales: valor inicial negativo

CCSS.Math:
HSF.IF.B.4

Transcripción del video

aquí tenemos la gráfica de la función fx y en este momento te estoy diciendo que fx es una función exponencial se ve como una pero es mucho mejor cuando alguien te dice que es una función exponencial y bueno nuestra meta en este vídeo va a ser averiguar para qué valor de x f de x será menos un 25 a déjame escribirlo para que el valor de x efe de x va a ser igual a menos 1 sobre 25 y bueno a lo mejor está sentado en bueno observar la gráfica y decir voy a buscarlo aquí buscar donde fx es igual a menos 1 sobre 25 y decir bueno eso está muy pegado al eje de las equis y dar una aproximación pero el problema es que está tan pegado al eje de las equis que realmente no sabríamos si es 3 o 4 o tal vez otro valor no estamos seguros lo único que estaríamos siendo es dar una mala aproximación y seguramente estaríamos adivinando así que en lugar de eso voy a buscar una expresión que defina ftx ya que aquí nos dan una cierta información y luego puedo resolver para x así que hagámoslo bueno como sabemos que fx es una función exponencial entonces efe de x va a ser de la forma fx va a ser de la forma a que es nuestro valor inicial lo voy a poner con este color am que multiplica a r elevado a la x a r elevado a nuestra potencia x y bueno nuestro valor inicial es suficientemente claro que será el valor que tome la función cuando x es igual a cero porque si x vale cero entonces era la cero tomara el valor de uno por lo tanto efe de cero va a ser igual aa entonces cuánto es efe de cero bueno pues cuando x es igual a cero si observamos justo aquí en esta gráfica entro estaríamos preguntándonos por el valor donde la gráfica se intersecta con el eje de las 10 podemos ver que f de 0 va a ser igual a menos 25 así que con su respectivo color voy a poner que a va a tomar el valor de menos 25 va a tomar el valor de menos 25 porque cuando x 0 r elevado a 0 me va a dar simplemente 1 y entonces efe de 0 va a ser igual a menos 25 de lujo ahora vamos a averiguar cuánto vale la razón común y bueno hay varias formas para hacerlo recuerda que la razón común es la razón entre todos valores sucesivos por ejemplo tú puedes tomarte efe de uno y si a esto lo dividimos entre efe de cero bueno pues mi respuesta va a ser la razón común y de igual manera puedes fijarte en f2 y dividirlo entre f1 y mi respuesta va a ser la razón común pero para nuestra suerte sabemos que efe de cero bueno pues esto toma el valor de menos 25 de menos 25 y que f1 a f1 toma el valor de menos 5 es justo lo que me dice esta gráfica de aquí cuando x vale 1 f x vale menos 5 entonces aquí puedo sustituir a efe de 1 x menos 5 y entonces ahora si puedo saber que la razón va a ser igual a menos 5 entre menos 25 que es exactamente lo mismo que un quito estás de acuerdo menos entre menos me da más y si saco quinta me va a quedar simple y sencillamente quinto esta va a ser mi razón común y ahora si con esto ya podemos escribir de una manera completa cuánto es ftx ahora podemos decir que fx efe de x va a ser igual a menos 25 a menos 25 que multiplican a r a r que es un quinto un quinto esto elevado a la potencia x esto elevado a la potencia x y ya con esto podemos regresar de nuevo a nuestra pregunta original que decía para qué valor de x f x es igual a menos 1 sobre 25 es decir queremos que esta parte de aquí sea igual a menos 1 sobre 25 veamos para qué valor de x se va a cumplir esta parte que tengo aquí esta función va a ser igual a menos 1 sobre 25 veamos queremos resolver para x estás de acuerdo bueno lo primero que se me ocurre es que podemos dividir todo entre menos 25 así podemos eliminar a este de aquí y que me quedaría bueno de este lado me va a quedar un quinto un quinto elevado a la potencia x y del otro lado del otro lado que me va a quedar bueno si dividido todo entre menos 25 esto se va a ir y aquí aquí que me queda bueno tengo menos 1 sobre 25 entre menos 25 en primer lugar menos entre menos me va a dar más y uno sobre 25 sobre 25 es lo mismo que uno sobre 625 1 sobre 625 25 por 25 y 625 ahora bien déjame bajar un poco la pantalla y me va a quedar lo siguiente en primer lugar un quinto elevado x eso es lo mismo que 1 elevado a la equis entre 5 elevado a la equis y bueno eso es exactamente lo mismo que uno entre 625 ahora bien uno elevado a cualquier potencia siempre es uno por lo tanto puedo quitar esa equis de ahí está x está de más así que la voy a quitar por aquí no la necesitamos y solamente me queda esta igualdad que tengo aquí y bueno esto nos está diciendo que déjenme ponerlo aquí que es 5 elevado a la equis tiene que ser 625 5 elevado a la equis esto tiene que ser igual a 625 a 625 y bueno la mejor forma que se me ocurre para resolver esto es pensar en las potencias de 5 y ver qué potencia de 5 es igual a 625 así que vamos a hacerlo si me fijo en las potencias de 5 por aquí que tengo 5 elevado a la primera potencia esto 5 ok de 5 elevado al cuadrado esto es 25 muy bien 5 elevado al cubo esto es igual a 125 125 5 elevado de la cuarta potencia esto es igual 125 por 5 625 de lujo ya está ya podemos decir que el valor al cual debemos elevar el 5 para que nos dé 625 es decir el valor de x debe de ser 4 y entonces ahora podemos decir que f de 4 que f de 4 esto es igual a menos 1 sobre 25 que es lo que queríamos menos 1 sobre 25 y ya está lo hemos logrado porque si recordamos la pregunta inicial dice para qué valor de x f x es igual a menos 1 sobre 25 bueno para x igual a 4 y lo puedes comprobar aquí si tú tienes uno y eso lo eleva a la cuarta potencia te va a quedar uno sobre 625 y si a eso lo multiplicas por menos 25 bueno el signo menos se conserva y 25 entre 625 es lo mismo que 1 sobre 25 espero que esto te haya ayudado a aclarar un poco todo este problema nos vemos en el siguiente vídeo