Introducción a la forma punto-pendiente

Lo que he dibujado aquí en amarillo es una línea, digamos que sabemos dos cosas de esta línea. Sabemos que tiene una pendiente "m" y sabemos también que el punto "a", "b", está en esta línea. Por lo que la pregunta que trataremos de resolver es, ¿podemos fácilmente obtener una ecuación para esta línea utilizando esta información? Así que vamos a intentarlo. Todo punto en esta línea o todo "x", "y" en esta línea, tiene que satisfacer la condición de que la pendiente entre ese punto y digamos que éste es un punto "x", "y", es un punto arbitrario en la línea. El hecho de que esté en la línea, nos dice que la pendiente entre "a", "b" y "x", "y", debe de ser igual a "m". Así que, utilicemos ese conocimiento para hacer una ecuación. Entonces, ¿cuál es la pendiente entre "a", "b" y "x", "y"? Nuestro cambio en "y" y recuerda que la pendiente es solo el cambio en "y" entre el cambio en "x". Déjame escribir eso. La... pendiente... es igual... al cambio... en "y"... entre... el cambio... en "x"... Este pequeño triángulo es la letra griega delta, símbolo para el cambio. Nuestro cambio en "y", veamos, si empezamos en "y" igual a... estamos empezando en "y" es igual a "b" y si acabamos en "y" igual a esta "y" arbitraria de aquí, ese cambio en "y" de aquí va ser, "y" menos "b"... "y" menos mi "b"... y eso va a estar sobre nuestro cambio en "x". Y utilizando la misma lógica, empezamos en "x" igual a "a" y terminamos en "x" igual a esta "x"arbitraria, sea cual sea la "x" en donde estemos. Por lo que nuestro cambio en "x" va a ser este punto final, menos nuestro punto inicial, menos "a". Y sabemos que ésta es la pendiente entre estos dos puntos, esa es la pendiente entre cualesquiera dos puntos en esta línea y eso va a ser igual a "m". Entonces esto va a ser igual a "m". Lo que hemos hecho aquí... lo que hemos hecho aquí, es crear una ecuación que describe esta línea. Puede que esté en una forma en la que no estén acostumbrados a ver, pero está en una ecuación que describe toda "x" y "y" que satisfaga esta ecuación estará en esta línea, porque toda "x" y "y"que satisfaga esto, la pendiente entre esta "x", "y" y este punto de aquí, entre el punto "a", "b", va a ser igual a "m". Así que vamos de hecho, ahora a convertir esto esto en formas que podamos reconocer más fácil... por lo que déjame pegar esto. Para simplificar esta expresión un poco o por lo menos para deshacernos de este "x" menos "a" en el denominador, multipliquemos ambos lados por "x" menos "a", entonces si multiplicamos ambos lados por "x" menos "a", "x" menos "a" en el lado izquierdo de la ecuación, "x" menos "a" en la izquierda y "x" menos "a" en la derecha..."x" menos "a" en la derecha, pondremos unos paréntesis alrededor de ellas, entonces vamos a multiplicar en ambos lados por "x" menos "a". El objetivo de eso es tener a "x" menos "a" dividido entre "x" menos "a", lo que solo va a ser igual a 1. Y en el lado derecho de la ecuación, solo tenemos "m" por "x" menos "a", así que todo esto se simplifica a "y" menos "b"... "y" menos "b" que es igual a... es igual a "m" por "x" menos "a". Y justo aquí está la forma que los matemáticos han denominado como forma punto pendiente. Así que esta de aquí es la forma punto pendiente... punto pendiente... de la ecuación que describe esta línea. Ahora, ¿por qué es llamada forma punto pendiente? Bueno, es muy fácil ver esto y decir, esta es la pendiente de la línea... en verde... ésta es la pendiente de la línea y puedo poner los dos puntos adentro. El punto "a", "b" está en esta línea y la pendiente por "x" menos "a" es igual a "y","b". Veamos porque es esto útil y porque le gusta a la gente utilizar este tipo de cosas. Ya no hay que usar este "a", "b" y la pendiente de "m" más. Hagamos esto un poco más concreto, digamos que tenemos, digamos que alguien te dijo que está trabajando con una línea en la que la pendiente es igual a 2 y va a través del punto... mmm.... y va a través del punto... no sé... digamos que va a través del punto -7,.... -7, 5. Entonces, de una manera rápida, puedes utilizar esta información y tu conocimiento en la forma punto pendiente para escribir esto en esta forma. Podrías solo decir, bueno una ecuación que contenga este punto y que tenga esta pendiente, sería... "y"... menos "b", que es 5... "y" menos la componente en "y" de este punto contenido por esta línea... es igual... es igual a mi pendiente... es igual a mi pendiente por... por la "x" menos la componente en "x" que contiene esta línea, así que "x" menos -7. Y solo como eso, hemos escrito una ecuación que tiene una pendiente de 2 y que contiene este punto de aquí. Y si no nos gusta esta "x" menos -7, de aquí podemos reescribir eso como "x" más 7, pero esta es la forma más cercana a la forma punto pendiente. Si quieres simplificar esto un poco, puedes escribir "y" menos 5 es igual a 2 por "x" más 7. Puedes ver esto como una manera de expresar la ecuación de esta línea, hay muchas más y con la que estamos más familiarizados es la forma pendiente ordenada al origen. Esto puede convertirse fácilmente a la forma pendiente ordenada al origen, para hacer eso, nosotros solo debemos distribuir este 2, entonces tenemos, "y" menos 5 es igual a 2 por "x" más 2 por 7 que es igual a 14, y luego podemos quitar este 5 a la izquierda al sumar 5 en ambos lados de la ecuación y luego nos queda en el lado izquierdo de la ecuación, "y"... y en el lado derecho de la ecuación... "2x" más 19. Por lo que esto de aquí está en la forma de pendiente ordenada al origen. Tienes aquí tu pendiente y tu ordenada al origen, entonces ésta es la forma de... pendiente... ordenada... al origen... Y ésta de aquí, es la forma punto pendiente.