Intervalos y notación de intervalos

Lo que quiero hacer en este video es  familiarizarnos con el concepto de   Intervalo y también pensar en diferentes formas de  mostrar un intervalo o la notación de intervalos.   Aquí tengo una recta numérica, y digamos que  quiero hablar del intervalo que va de -3 a 2.   Me interesa este intervalo que estoy iluminando y  todos los números que se encuentran entre -3 y 2,   pero si quiero ser más precisa tengo que aclarar  si el intervalo incluye al -3 y al 2 o no los   incluye, o si incluye sólo a uno de ellos.  Si quiero incluir a -3 y a 2 voy a rellenar   un punto en cada uno de ellos, esto significa  que el -3 y el 2 son parte de este intervalo,   y a eso se le llama Intervalo cerrado. Les  estoy mostrando cómo se expresa esto en la recta   numérica con puntos rellenos. Hay varias formas de  expresar matemáticamente este intervalo. Digamos   que esta recta expresa los valores de x, así que  puedo decir que estas son las x que se encuentran   entre -3 y 2. Aquí tengo mi x, esta x va a ser  mayor o igual que -3 y además va a ser menor o   igual a 2. Noten que la x es mayor o igual que  -3, lo que nos dice que x puede ser igual a -3,   y también nos dice que x es menor o igual a 2,  por lo que x puede ser igual a 2. Y esto es un   Intervalo cerrado. Otra forma de expresar un  Intervalo cerrado sería usando corchetes. El   Intervalo cerrado -aquí está mi corchete- entre  -3 y 2 -y cierro el corchete-; estos corchetes nos   indican que se incluyen los límites: el corchete  del lado del -3 nos dice que este -3 es parte del   intervalo y el corchete a la derecha nos indica  que el 2 también está incluido en el intervalo.   En algunas ocasiones se encontrarán una notación  más sofisticada. X pertenece a los números reales   tal que, y pongo estas llaves aquí que nos indican  que es un conjunto de valores, nos dicen que es   el conjunto de todas las x que pertenecen a los  números reales; esta ε extraña es la letra griega   épsilon, y nos indica que pertenece, en este caso,  a los números reales, tal que, o tales que, esta   línea vertical significa "tal que", x es mayor  o igual que -3 y es menor o igual a 2. También   lo puedo escribir de esta forma: x pertenece a  los números reales, tales que x pertenece o es   miembro del intervalo cerrado en donde incluyo  a los límites. Ambas notaciones son formas de   expresar o denotar el mismo intervalo. Vamos a  hacer más ejemplos. Dibujemos otra recta numérica   y ahora dibujemos un Intervalo abierto para ver  las diferencias. Ahora queremos los valores entre   -1 y 4 que estoy resaltando aquí, pero no quiero  incluir ni al -1 ni al 4, por lo que será un   intervalo abierto. Noten que aquí tengo círculos  abiertos, arriba tenemos círculos cerrados,   lo que indica que se incluyen los límites;  aquí abajo los círculos están sin rellenar,   indicando que no incluyo los límites entre -1 y 4,  por lo que -0.99999 está incluido pero no el -1,   y también que el 3.999999 está incluido pero no  el 4. ¿Cuál será la notación para esto? Podemos   decir que x pertenece a los números reales, tales  que x sea mayor que -1, pero no indico que sea   mayor o igual, porque el -1 no está incluido en  el intervalo, -1 es estrictamente menor que x y x   es estrictamente menor que 4, no es menor o igual  porque no estoy incluyendo al 4. Esta es una forma   de expresarlo; también lo puedo expresar así: x  pertenece a los números reales tal que x pertenece   al intervalo -1,4, pero no voy a usar los  corchetes porque éstos indicarían que se incluyen   los límites. Aquí no los vamos a incluir, así  que ponemos paréntesis; los paréntesis nos dicen   que no vamos a incluir los límites, y este es un  intervalo abierto. Y quizá ustedes se pregunten:   "Bueno, aquí arriba ambos límites se incluyen y  aquí abajo no se incluyen los dos límites, pero   ¿qué pasa cuando quiero incluir un lado del límite  pero el otro no?, ¿puedo hacer esto?" La respuesta   es claro que sí. Veamos un ejemplo. Pongamos otra  recta numérica y hagamos algo de espacio. Ahora   vamos a escribirlo primero y después lo pondremos  en la recta numérica. Estamos hablando de todas   las x que pertenecen a los números reales tales  que -4 es menor pero no está incluido que x y x   es menor o igual que -1, no estoy incluyendo al -4  pero sí incluyo al -1, x no puede ser igual a -4,   por lo que aquí pongo un círculo sin rellenar,  un círculo abierto, pero x sí incluye al -1 así   que aquí pongo un círculo relleno, un círculo  cerrado. Y tenemos todo lo que está entre ellos.   Si quiero escribirlo con esta anotación, lo  pongo: x pertenece a los números reales tal   que x pertenece al intervalo de -4 y -1, pero sin  incluir al -4, así que ponemos un paréntesis de   este lado, pero sí incluimos al -1 así que ponemos  un corchete junto al -1, y así queda nuestra   notación. Hay otras cosas que podemos hacer con la  notación de intervalos. Vamos a hacer más espacio.   Por ejemplo, todo entre un intervalo excepto por  un valor. Veamos un ejemplo. Pongamos una recta   numérica aquí, vamos a hablar de todos los números  reales a excepción de 1, incluimos todos los   números reales pero excluimos el número 1, ponemos  un círculo abierto acá y continuamos incluyendo   todos los otros valores. ¿Cómo denotaríamos esto?  Podemos decir que x pertenece a los números reales   tal que x no sea igual a 1, x es un número real  cualquiera pero no 1; otra forma de denotar   este mismo intervalo es: x pertenece a los números  reales tal que x sea menor que 1 o x sea mayor que   1, podemos escribirlo así o podemos hacer algo más  interesante. Esta de la izquierda es la notación   que yo usaría por ser la más corta, pero podríamos  hacer algo más sofisticado como: x pertenece a los   números reales tal que x pertenece al conjunto  que va desde -∞ hasta 1 sin incluir el 1,   o x pertenece al intervalo que va desde 1, sin  incluirlo, hasta el ∞ positivo. Cuando hablamos   de -∞ o ∞ positivo siempre ponemos paréntesis  a su lado, ya que nunca podemos incluir todo   valores hasta el infinito, así que el intervalo  tiene que quedar abierto, al menos de ese lado,   pues el infinito continúa por siempre, y por eso  usamos el intervalo abierto. También noten que   no estoy incluyendo el 1, así que x pertenece a  ese intervalo o a este otro, indicando que puede   ser cualquier valor excepto 1, aunque la verdad  yo prefiero esta notación que es más pequeña.