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Demostración: √2 es irracional

Demostramos que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, p.ej. no se puede expresar como la razón de dos enteros. Creado por Sal Khan.

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  • Avatar blobby green style para el usuario Alba Rosa  Muñoz
    ¿Es correcta la demostración de que raíz cuadrada de 2 es irracional, de la siguiente forma?


    DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN.
    Supongamos que √2 = a / b, donde a / b es un número racional mayor que 1 y menor que 2. a y b no tienen factores primos comunes
    Al elevar al cuadrado en ambos miembros, se obtiene (a / b)² = 2 (*).
    Sea F = ( f1, f2, ... , fk ) el conjunto de los factores primos de a. Y sea G = ( g1, g2, ... , gl ) el conjunto de los factores primos de b.
    Sabemos que F ∩ G = ∅.
    Tenemos que los factores primos de a² son f1,f1,f2,f2, ...,fk,fk.
    Por tanto,por ser los mismos elementos de F repetidos, el conjunto de factores primos de a², es H = (f1,f2, ... ,fk) = F.
    Además, los factores primos de b² son g1,g1,g2,g2, ...,gl,gl.
    Por tanto,como son los mismos elementos de G repetidos, el conjunto de factores primos de b², es I = (g1,g2, ... , gl) = G.
    De modo que,como H = F e I = G, H ∩ I = ∅.
    Se deduce que a² y b² no tienen factores primos comunes.
    Entonces, a²/b² es una fracción irreducible.
    Debido a que (a/b) es mayor que 1 y menor que 2, b≠1.
    Y al calcular el cociente a²÷b² el resultado, necesariamente, es un racional no entero.
    Así, a²/b² = (a/b)² ≠ k, donde k es un número natural
    En particular, (a/b)²≠2 .
    Entonces, según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción.
    La suposición inicial es falsa. Finalmente, √2 no es un racional. √2 es un irracional.

    NOTA:SI ES CORRECTO, ESTE MÉTODO FUNCIONARÍA TAMBIÉN PARA DEMOSTRAR QUE LA RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NATURAL A, QUE NO SEA UN CUADRADO PERFECTO, ES UN IRRACIONAL.
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Alba Rosa  Muñoz
    Demostrar que si la raíz n-ésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un número irracional.
    Demostración. Supongamos que (A)^(1/n) = a/b, donde (a/b) es un número racional mayor que un cierto entero positivo E y menor que (E+1). a y b no tienen factores primos comunes.

    Al elevar al exponente n en ambos miembros, se obtiene:
    (a/b)^n = A (*).
    Sea F = (f1,f2, ... , fk) el conjunto de los factores primos de a, y sea G = (g1,g2, ... , gl) el conjunto de los factores primos de b.
    Sabemos que F ∩ G = ∅.
    Los factores primos de (a)^n son (f1,f1,f1,...,f1), (f2,f2,...,f2), ..., (fk,fk, ..., fk), donde en cada grupo el factor se repite n veces.
    Por tanto,por ser los mismos elementos de F repetidos, el conjunto de factores primos de (a)^n es:
    H = (f1,f2,...,fk) = F.
    Además, los factores primos de (b)^n son (g1,g1,...g1), (g2,g2, ...,g2), ... , (gl,gl, ...,gl), donde en cada grupo el factor se repite n veces.
    Por tanto,como son los mismos elementos de G repetidos, el conjunto de los factores primos de (b)^n es:
    I = (g1,g2, ...,gl) = G
    Como H = F e I = G, H ∩ I = ∅.
    Se deduce que (a)^n y (b)^n no tienen factores primos comunes.
    Entonces, (a^n)/(b^n) es una fracción irreducible.
    Debido a que (a/b) es mayor que E y menor que (E+1), b ≠ 1. Y al calcular el cociente (a^n)÷(b^n), el resultado, necesariamente, es un racional no entero.
    Así, (a^n)/(b^n)=(a/b)^n ≠ k, donde k es un número natural.
    En particular,(a/b)^n ≠ A.
    Entonces, según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción. La suposición inicial es falsa. (A)^(1/n) no es un racional. Finalmente, (A)^(1/n) es un irracional.
    De modo que si la raíz n-ésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un irracional.
    (2 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Belen Leiva
    consulta,si tengo que factorizar un polinomio sin termino independiente y una vez hecho esto,me queda un trinomio de segundo grado y uso baskara y me da raiz de 24 (resultado irracional) que hago?
    te dejo el problema: x^3-2x^2-5x=x(x^2-2x-5)
    (1 voto)
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    • Avatar blobby green style para el usuario Alba Rosa  Muñoz
      Se procede de la siguiente manera:
      x^3-2x^2-5x=x(x^2-2x-5). Una solución es x = 0.
      Y las otras dos salen de igualar a cero el trinomio
      x² - 2x - 5.
      Entonces x² - 2x - 5 = 0.
      Como a = 1, b = -2 y c = -5, entonces el discriminante D es D = b² - 4.a.c = (-2)²- 4.1.(-5)=24.
      X1 = (-(-2)+√24)/2 = (2 + 2√6)/2 = 1 + √6
      X2 = 1 - √6
      Las soluciones son X=0, X=1+√6 y X=1-√6
      (1 voto)
  • Avatar blobby green style para el usuario yanelis10lugo79
    Hola! tengo dudas en diferenciar reducción al absurdo y reducción por contradicción. creía que esa demostración era al absurdo
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  • Avatar blobby green style para el usuario yanelis10lugo79
    Hola! tengo dudas acerca de diferenciar la demostración al absurdo y demostración por contradiccion
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  • Avatar area 52 blue style para el usuario macarena.oyague
    por que se empieza desde la premisa de que es irreducible? si es que un número entero es racional y no necesariamente es irreducible
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  • Avatar blobby green style para el usuario infinixz92
    me pudes ayudar cuanto es √ 2 + √ 2
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  • Avatar blobby green style para el usuario Helen bernal
    que puedo hacer si ya termine
    (0 votos)
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Transcripción del video

Tengo muchas ganas de intentar probar que raíz de 2 es irracional y justo eso es lo que vamos a ver en este video, vamos a intentar demostrar que raíz de 2 es irracional... que raíz... Oh, que fea raíz... que raíz de 2 es irracional... irracional... Ahora, para ver que raíz de 2 es irracional, voy a utilizar la contradicción, voy a demostrar que raíz de 2 es irracional por el método de contradicción y para esto lo que hay que hacer es suponer justo lo contrario y vas a ver que vamos a llegar a algo absurdo a una contradicción, así que bueno, tras lo que voy es probar que raíz de 2 es racional... déjame atraparlo con este color... y lo voy a probar por contradicción.. por contradicción... lo voy a poner aquí... demostración... demostración... demostración por contradicción... por contradicción... Ahora, date cuenta de que si yo llego a un absurdo suponiendo lo contrario, es decir que raíz de dos es racional, entonces cuando llegue a ese absurdo que estoy buscando, en ese momento estoy diciendo que raíz de 2 debería de ser irracional, que es justo lo que nosotros queremos, ok. Entonces, la idea de esto es suponer que raíz de 2 es racional y lo voy a poner aquí... raíz de 2 es racional... vamos a suponer que raíz de 2 es racional y vamos a ver si llegamos a un absurdo y si decimos que raíz de 2 es racional, entonces podemos decir... entonces podemos decir que raíz de 2... raíz de 2 lo puedo ver como una fracción, como una razón entre 2 enteros. Entonces, a raíz de 2 lo voy a escribir como a una división entre dos números enteros, "a" entre... voy a utilizar este color... entre "b"... entre "b", ok. Ahora, lo importante de todo esto es ver que "a" y "b", es decir, esta fracción que tengo aquí, es una fracción irreducible y eso es muy importante, si esta fracción no fuera irreducible, bueno pues entonces podemos sacar algún factor común, cancelarlo y tarde o temprano llegara a una fracción irreducible, todas las fracciones después de reducirlas llegan a ser una fracción irreducible y eso es súper importante para esta demostración, que esta fracción es irreducible o dicho de otra manera, que "a" y "b" solo tienen como factor común al 1, lo que es exactamente lo mismo que decir que "a" y "b" son co-primos o primos relativos entre sí. Ok, entonces yo lo que quiero ver, o más bien, yo lo que voy a suponer es que esta fracción es una fracción irreducible, aquí está la clave de esta demostración... irreducible. Ok, voy a suponer que esta fracción es irreducible y si eso es cierto, estoy diciendo que "a" y "b", ok, "a" y "b"... y "b" son primos relativos entre sí o son co-primos o podemos decir que no tienen... no tienen... no tienen ningún factor común... ningún... ningún factor común... factor común... común, que no sea el 1, ¿no? excepto el 1... excepto el 1, ok. Y esto es muy importante, raíz de 2 lo vamos a ver como una fracción irreducible, todas las fracciones las podemos llevar a una fracción irreducible y eso quiere decir que tanto "a" como "b", no tienen ningún factor común, excepto el 1... excepto el 1. Ok, ahora, utilizando esta misma información manipulemos justo esto que tenemos aquí, si esto es cierto, eso quiere decir que raíz de 2... lo voy a poner así, raíz de 2 es lo mismo que "a" entre "b"... que "a" entre "b"... entre "b", ok. ¿Y de aquí qué te parece si elevo al cuadrado ambos lados de esta igualdad? Llegaría a que 2... a que 2 es exactamente lo mismo que "a" cuadrada... que "a" cuadrada entre "b" cuadrada... entre "b" cuadrada y lo único que estoy haciendo es elevar al cuadrado ambos lados de esta igualdad, elevo al cuadrado la raíz de 2 y el cuadrado con la raíz se va y aquí me queda "a" entre "b" cuadrada o dicho de otra manera, esto es exactamente lo mismo... esto es exactamente lo mismo que poner que 2, 2 por "b" cuadrada... 2 por "b" cuadrada... y bueno, estoy suponiendo que "b" es distinto de 0, esto es exactamente igual... esto es exactamente igual que "a" cuadrada... que "a" cuadrada, lo único que hice fue multiplicar esta igualdad de ambos lados por "b" cuadrada, de tal manera que aquí se va a cancelar y solamente me queda "a" cuadrada, mientras que del lado izquierdo me queda 2 veces "b" cuadrada, ok, ¿qué quiere decir esto? Bueno, pues lo que quiero que veas es que aquí podemos concluir... y vamos a ponerlo así... aquí podemos concluir que "a" cuadrada debe de ser un número par, tanto "a" como "b" son enteros, precisamente de aquí nos tomamos una fracción, que es una división de enteros y aquí yo tengo 2 por un número entero... 2 por un número entero, esto me da un número par, por lo tanto cuando yo tengo un número entero y lo multiplico por 2, es un número par que es el valor de "a" cuadrada y entonces puedo decir que "a" cuadrada es par... es par. Muy bien, ¿y esto para qué nos sirve? Bueno porque si "a" cuadrada es par y es que quiero que recuerdes, "a" cuadrada es lo mismo que decir "a" por "a", "a" por "a" entonces es par, es par. ¿Y esto para qué? Porque quiero que recuerdes un poco algo de lo que hemos visto, si yo tengo por ejemplo un número par, a un número par lo multiplico por un número par, bueno, pues esto sabemos que nos da un número par... un número par, 2 por 2 es 4, 8 por 8 es 64 y si yo tengo un número impar... un número impar y a éste lo multiplico por un número impar... lo multiplico por un número impar obtengo un número impar... obtengo un número impar, ¿eso que quiere decir? bueno que si par por par, nos da un número par, entonces "a" por "a" nos da un número par y esto, esto quiere decir que "a", "a" es par... es par. La única manera de que tengamos un número multiplicado por sí mismo que nos dé un número par, debe de ser que ese número sea par o dicho de otra manera, podemos decir... y déjame cambiar de color para que lo veas con este color... dicho de otra manera podemos decir que "a" lo podemos escribir... lo podemos escribir como un número par, es decir como 2 veces un cierto número "k", ok. Como "a" es par lo podemos ver como dos veces "k" porque este de aquí es un número par, ok. Y bueno, ¿para qué todo esto? Porque cuando nosotros decimos que "a" es un número par y lo podemos representar aquí, ahora voy a utilizar esta información para sustituir a "a" aquí y llegar a que "b" también es un número par, piénsalo un segundo por ahí va la clave para llegar a la contradicción, si nosotros vemos que "b" es un número par, entonces estamos llegando a una contradicción de que esta fracción sea irreducible y tras eso vamos. Ok, como "a" lo podemos ver como "2k", ¿qué te parece si lo sustituimos justo en esta ecuación que tengo aquí? Y me va a quedar que dos veces "b"... lo voy a poner aquí, dos veces "b"... "b" cuadrada, dos veces "b" cuadrada... "b" cuadrada, esto es exactamente lo mismo... esto es exactamente lo mismo... estoy escribiendo esta ecuación aquí... que "a" cuadrada. Pero "a" lo podemos ver como "2k" y esto elevado al cuadrado, es decir, esto es lo mismo que "2k" elevado al cuadrado, lo que representa "a" cuadrada, solamente estoy sustituyendo en esta ecuación. Y bueno, de aquí podré obtener que dos veces "b", dos veces "b" cuadrada , es exactamente lo mismo y aquí voy a elevar al cuadrado y me queda 4 veces "k" cuadrada, 4 veces "k" cuadrada o dicho de otra manera, si divido todo entre 2 voy a llegar a que... éste es el color de "b"... el color de "b", "b" cuadrada es exactamente lo mismo que dos veces "k" cuadrada... que dos veces "k" cuadrada, lo único que hice fue dividir esta parte entre 2 y esta parte también la dividí entre 2 y justo estoy llegando a que "b" cuadrada es igual a "2k" cuadrada, lo que quiere decir por el mismo razonamiento , un razonamiento muy análogo que "b" cuadrada... aquí estoy diciendo que "b" cuadrada debe de ser un número par, "b" cuadrada es par porque lo puedo representar como dos veces un cierto número y si "b" cuadrada es par, ok, de aquí puedo obtener que "b" debe de ser par, "b" es par por el mismo razonamiento de acá arriba, par por par me debe de dar un número par y si "b" cuadrada es par, forzosamente "b" debe de ser par, ok, de aquí me fui para acá y de aquí me fui para acá y entonces estoy diciendo que "b" es un número que lo puedo ver como... vamos a escribirlo así... a "b"... a "b" lo puedo ver de la siguiente manera, dos veces... dos veces un cierto número "m" y justo aquí es donde cae la contradicción y aquí es lo más importante de este video, si "b" es igual a dos veces "m" y "a" es igual a dos veces "k", tienen un factor común que es 2, tanto "b" es par como "a" es par y justo habíamos dicho que "a" entre "b" era una fracción irreducible, si "a" entre "b" es una fracción irreducible entonces tanto "a" como "b", no tienen ningún factor común, pero acabamos de encontrar que si tienen factor común y... ¡Oh no! aquí está lo malo del asunto, esto es una contradicción, acabo de llegar a algo que no se puede porque habíamos supuesto justo lo contrario, ésta es una contradicción, lo que me está diciendo que entonces raíz de 2 no puede ser racional, porque justo de aquí partimos y si raíz de 2 no puede ser racional, estoy diciendo que ya llegamos a nuestro resultado. Estoy diciendo que raíz de 2 es irracional, nosotros empezamos diciendo que raíz de 2 es racional, entonces lo podemos ver como "a" entre "b", una fracción irreducible y esto quiere decir que "a" y "b" no tienen ningún factor común excepto el 1 y llegamos al "a" y "b" tienen como factor común al 2 y entonces aquí se da la contradicción y en ese momento podemos concluir entonces que raíz de 2 debe de ser irracional.