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Demostración: producto de racional e irracional es irracional

CCSS.Math:
HSN.RN.B.3

Transcripción del video

en este vídeo quiero demostrarte que el producto o la multiplicación de un racional de un rayo esto por un irracional por un irracional irracional esto nos da un número irracional y y ojo estoy diciendo que estoy tomándome esta multiplicación del racional por este irracional y nos da un irracional si este racional es distinto de 0 porque si fuera 0 0 por lo que sea es 0 y me daría un número racional ok y para llegar a esto que parece ser que tiene todo el sentido lógico del mundo voy a ocupar una demostración por contradicción es decir voy a suponer que no llegamos a un número racional y vamos a llegar a una contradicción y si no llegamos a un número racional entonces eso quiere decir que vamos a llegar a un número racional así que bueno para tener la demostración por contradicción lo que voy a hacer es primero suponer vamos a ponerlo aquí voy a suponer a suponer lo contrario suponer suponer que la multiplicación de un racional racional por un irracional por un irracional irracional como queremos llegar a una contradicción entonces voy a suponer lo contrario voy a suponer que nos lleva a un número racional nos lleva a un número relacional ahora si veo que esto no tiene sentido si llevo una contradicción entonces no me quedaría de otra la multiplicación de un racional por un irracional me daría un irracional bueno para esto que te parece si este racional el del principio le ponemos un nombre a este de aquí lo voy a ver como a / b ok a / b lo voy a multiplicar por 1 muy racional y como un número nacional es muy pero muy pero muy largo lo voy a denotar con x ok mi número racional este nuevo y racional le voy a llamar x ok y esto nos tiene que dar un número nacional eso quiere decir que esto es lo mismo lo mismo que un número racional aunque le voy a poner el nombre de m / m de m entre el ok y estamos suponiendo que esto es cierto pero bueno si esto es cierto entonces podemos despejar la x y para despejar a equis qué te parece si multiplico todo tanto el lado izquierdo como el lado derecho esta igualdad por b entre a por b entre am y este lado también por b entre a por b entre a de tal manera que éste se va a cancelar con este esto se va a cancelar con este y del lado izquierdo solamente me queda mi x mil número irracional x va a ser igual y del lado derecho me queda m / n por b / am ahora date cuenta que me entrené por b / am es exactamente lo mismo por propiedades de multiplicación de los números racionales que m por ver que m esto dividido entre n por a entre n por a déjame cambiar el color por a ok ahora date cuenta de lo siguiente aquí pasa algo muy pero muy feo yo tengo m por b lo puedes un número entero en el polar es un número entero porque son multiplicando 2 unos racionales y date cuenta que el mejor de entre n por am es un número racional este de aquí es de aquí déjame ponerlo con este color este de aquí es un número racional porque tengo racional porque tengo la proporción de dos números enteros pero x habíamos dicho que era un número completamente irracional de hecho es justo como nos tomamos a x como un número racional por lo tanto estoy diciendo que x debería ser debería se ser racional racional y justo aquí es cuando llego a la contradicción x no puede ser racional e irracional al mismo tiempo esto no tiene sentido o es racional o es irracional por lo tanto aquí está la contradicción yo había supuesto que x es irracional y llego a que debe ser racional y eso no tiene sentido x no puede ser racional y racional y entonces llegue a esta contradicción porque empezamos suponiendo que racional por irracional es un número racional y llegamos a que esto no puede ser cierto por lo tanto justo en este momento estoy probando lo que quería probar acá arriba que un racional por una irracional me debe de dar forzosamente un número irracional y está de lujo ya llegué justo a lo que quería para que no lleguemos a una contradicción forzosamente un racional por un irracional me debe de dar un irracional