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Demostración: la suma de racional e irracional es irracional

CCSS.Math:
HSN.RN.B.3

Transcripción del video

tengo curiosidad de que nos va a dar la suma de un número racional racional ok si los sumamos si los sumamos con un número irracional vamos a sumarlo con un número y ración que vamos a obtener de la suma de estos dos y bueno como todavía no sabemos el resultado que te parece si suponemos que la suma de estos dos nos da nos da un número racional vamos a ver dónde llegamos si pensamos que nos da un número raro ok si esto fuera cierto entonces lo podremos ver de la siguiente manera que un número racional y voy a suponer que este número se llama a / b a / b ok si a a / b le sumó un número irracional y como los números racionales son muy largos le voy a poner mejor el nombre de x x va a ser mi número irracional mi número irracional le voy a poner lo voy a bautizar con el nombre de x a / b más x esto quiero que me dé un número racional ya este número racional le voy a poner el nombre de m / m m / n ok si esto fuera cierto entonces de equipo despejar a mi número y racional y si me ocurre a despejarlo para que lo veas de la siguiente manera x es exactamente lo mismo que m / n que m / m m / n ya esto le voy a quitar le voy a quitar este de aquí es decir esencialmente lo que estoy haciendo es restar a entre vez de ambos lados de esta igualdad entonces a esto le voy a quitar a sobre ve ahora date cuenta que esta operación si la podemos realizar esto es exactamente lo mismo que y voy a encontrar un denominador común denominador común y voy a decir que es devolver n por be ok y bueno como puedo expresar a m / n con este denominador de n por bent bueno realmente lo que tenemos que hacer es multiplicar tanto arriba como abajo por b entonces voy a multiplicar arriba por ver abajo por ver de tal manera que ya tengo el mismo denominador el denominador común y arriba me quedo en x 20 entonces aquí voy a poner a déjame cambiar de color m/m por b por be ok ya esto le quiero quitar le quiero quitar y bueno ahora como podemos representar a entre b con un mismo denominador con nuestro denominador común bueno para esto lo que nos hace falta es la n iv qué voy a hacer es multiplicar tanto arriba como abajo por n a por mb por n de tal manera que tengo b x en el que es lo mismo que 9 y arriba me queda am que multiplica a en y lo voy a poner con este color que multiplica a en ok es decir que x es igual a mb menos apuren entre n b ahora quiero que te des cuenta lo siguiente en la parte de abajo tengo la multiplicación de un número entero por un número entero como estos dos son unos racionales tanto a como b como m como n son enteros y la multiplicación de un entero por un entero me da un número entero pero de lujo ahora vamos a fijarnos la parte de arriba en la parte de arriba tengo aquí la multiplicación de dos números enteros lo cual por cierto es un número entero entero ya esto le voy a quitar la multiplicación de dos números enteros lo cual por cierto es un número entero ok y qué pasa si yo tengo a un entero y le quitó un número entero pues me va a dar un número entero estoy diciendo que estos dos estos dos la resta de estos dos me va a dar un número entero entero es decir esencialmente me estoy tomando la división de un número entero entre un número entero vamos a ponerlo aquí esto lo mismo que un entero entero ok mb menos a n es un número entero aunque sea en un número entero ok ya esto lo estoy dividiendo entre n por lo cual también es un número entero pero ahora si esto pasa esto quiere decir que este número de aquí un entero entre un entero es un número racional es de aquí es un número racional que por cierto era el valor de x era el valor de x entonces x debería de ser un número racional déjame ponerlo con este color x debería ser d racional porque obtuvimos un número racional x debería de ser racional pero nosotros habíamos dicho que x es racional y aquí está la contradicción si nosotros suponemos que un racional + un irracional nos da un número racional entonces llegamos a una contradicción una contradicción esto no puede ser cierto y esto no puede ser cierto porque x no puede ser racional e irracional al mismo tiempo x por una parte me dice que debe de ser irracional y por otra parte me dice que debe ser racional y esto no puede ser cierto por lo tanto esta expresión total no puede ser cierta esto no puede ser cierto que la suma de un racional + un irracional medio racional porque llegamos a una contradicción es decir que nosotros queremos escribir bien la suma con racional + un irracional nos debe de dar un número irracional forzosamente déjame borrar la pantalla para poner nuestra conclusión vamos a quitar esto de aquí y vamos a poner a una nueva pantalla y vamos a poner justo aquí la conclusión a la que llegamos nosotros tenemos un racional un racional ya éste le sumamos le sumamos un número irracional déjame ponerlo con este color le sumamos un número y racional y racional ya sabemos a qué llegamos la suma de un racional con un irracional nos da un número irracional nos da un número irracional que es justo la conclusión de este vídeo esto es muy importante que lo tengas en cuenta hasta la próxima