Demostración: la suma y el producto de dos racionales es racional

Vamos a pensar un poco, ¿qué obtenemos de la multiplicación y de la suma de dos números racionales? si yo empiezo con el producto, con la multiplicación de dos números racionales y supongamos que uno que se llama "a" entre "b", tengo al número "a" entre "b" y a éste... Oh, que fea "b"... "a" entre "b" y a éste lo voy a multiplicar por otro número que sea racional, se me ocurre "m" entre "n", bueno cuando multiplico estos 2, ¿qué voy a obtener? Esto es exactamente lo mismo que "a" por "m"... que "a" por "m" recuerda que se multiplican así las fracciones, "a" por "m", ok, y a esto dividido entre "b" por "n"... déjame cambiar de color... "b" por "n"... por "n"... Ahora date cuenta que si "a" entre "b" es un número racional y "m" entre "n" es un número irracional, "a" es un número entero y "m" es un número entero, por lo tanto cuando multiplique dos números enteros, voy a obtener también un número entero y de igual manera va a pasar con los denominadores, "b" es un número entero, "n" es un número entero y por lo tanto "b" por "n" es un número entero, como tengo la razón o la proporción, estoy comparando dos números enteros, entonces puedo decir que este número de aquí también es racional... éste también es racional... ok, de lujo, si me tomo la multiplicación de dos números racionales, obtengo un número racional. Ahora vamos a cambiar de color y vamos a pensar en números racionales cuando se suman. Supongamos que tengo "a" entre "b", ok, y a esto le voy a sumar... le voy a sumar otro número racional y para seguir con esta misma lógica voy a tomarme a "m" entre "n", ok, ¿qué obtengo de la suma de estos dos racionales? Bueno, para tomarme la suma de estos dos racionales, pues hay varias formas de hacerlo, lo primero que se me ocurre es que podríamos tomar un denominador común y el denominador común va a ser "b" por "n", voy a tomar como denominador común a "b" por "n"... vamos a poner esta línea aquí... "b" por "n"... "b" por "n", ok, y bueno, para saber qué me va a quedar aquí arriba, lo que necesito hacer es convertir a esta fracción en algo que tenga un denominador común de "b" por "n" y para eso voy a multiplicar tanto arriba como abajo por "n"... tanto arriba como abajo por "n", ok... de tal manera que ya tengo el denominador común que yo quería y ahora sí, voy a tener "bn" entre "bn" es "an"... déjame ponerlo así... "a" por "n", ok, y a esto le voy a sumar, le voy a sumar y ahora me voy a fijar en esta fracción, si me fijo en esta fracción de aquí, lo que me falta para tener este denominador común, "bn" es multiplicar tanto arriba como abajo por "b", entonces multipliquemos por "b" y por "b", de tal manera que abajo tengo ya "nb" o "bn" y arriba me queda "m" por "b"... y lo voy a poner con este color... "m" por "b"... por "b"... De tal manera que quiero que te des cuenta de algo muy importante con esta expresión que tengo aquí. En la parte de abajo, tengo el producto de dos números enteros y en la parte de arriba tengo un número entero, la multiplicación de 2 enteros es 1 entero más otro entero y 1 entero más otro entero también es un número entero... Por lo tanto, éste de aquí... éste de aquí, es lo mismo que 1 entero entre otro entero, lo cual es lo mismo que una razón de 2 números enteros o una proporción de 2 números enteros o estamos comparando 2 números enteros, lo cual me dice que es un número racional... racional... Y está de lujo, ya me estoy dando cuenta que si tengo la multiplicación o el producto de 2 números racionales, obtengo racional y por otra parte si me tomo la suma de 2 números racionales también obtengo un racional.