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Ejemplo resuelto: volver a escribir y resolver ecuaciones al completar el cuadrado

CCSS.Math:
HSA.REI.B.4
,
HSA.REI.B.4a
,
HSA.REI.B.4b
,
HSA.SSE.B.3
,
HSA.SSE.B.3b
,
HSF.IF.C.8
,
HSF.IF.C.8a

Transcripción del video

veamos si podemos resolver esta ecuación cuadrática que tengo aquí x cuadrada menos 2 x menos 8 igual a 0 pero esta vez quiero resolverla de una manera particular porque realmente varias maneras en las que puedes atacar este problema puedes intentar simplemente factorizar el lado izquierdo y seguir ese camino pero la manera en la que nosotros vamos a resolverlo es completando el cuadrado y eso qué significa bueno eso significa que vamos a escribir este lado izquierdo que tenemos aquí lo queremos escribir de la siguiente forma como x + am esto elevado al cuadrado más b y como veremos si podemos escribir el lado izquierdo de esta ecuación de esta forma ya va a ser muy sencillo que resolvamos esta ecuación cuadrática entonces veamos si podemos hacerlo pero primero vamos a recordar cómo necesitamos reacomodar el lado izquierdo para llegar a esta forma que tengo aquí si fueras expandir el al cuadrado esta parte de aquí que me quedaría si expandimos esto bueno pues esto me quedaría el cuadrado el primero x cuadrada más dos veces el primero por el segundo 2 x más el cuadrado del segundo que es a cuadrada y bueno claro no olvidemos esta vez a esto le estamos sumando b entonces veamos si podemos escribir esta parte de aquí de esa forma y lo que vamos a hacer es lo que se conoce típicamente como completar el cuadrado entonces voy a reescribir esta parte que tengo aquí pero de una manera muy peculiar voy a poner primero a x cuadrada después a menos 2 x y después voy a dejar un espacio por aquí un pequeño espacio para después poner el menos 8 y después voy a dejar otro pequeño espacio y después voy a poner igual a cero lo único que hice fue reescribir esta ecuación que tengo aquí pero de una manera muy peculiar porque esta manera me va a servir para sumar y restar algo que me va a ayudar a completar el cuadrado perfecto entonces si simplemente emparejamos primero tengo x cuadrada y aquí también tengo x cuadrada vamos bien después tengo aquí menos 2x y aquí tengo más 2a x ok esto estaba muy interesante aquí tenemos 2x y aquí tengo menos 2x eso quiere decir que entonces menos 2x tendría que ser 2 x o dicho de otra manera 2 amp tendría que ser menos 22 am tendría que ser lo mismo que menos 2 o bueno si dividimos todo a la mitad me quedaría que am tiene que ser igual a menos uno observa lo que estoy diciendo es que am será siempre la mitad de tu coeficiente del término de primer grado que tengas o lo que es lo mismo también lo puedes ver así la mitad del coeficiente x que tengas en este caso el coeficiente con el término x es menos 2 y entonces am va a ser la mitad de eso la mitad de menos 2 es menos 1 y luego queremos tener a cuadrada y para tener a cuadrada lo que necesitamos tener es aquí el cuadrado de menos 1 y el cuadrado de menos 1 es 1 entonces le voy a sumar 11 positivo lo voy a poner justo aquí pero como hicimos y dijimos en los vídeos pasados no podemos hacerlo así porque sí porque sumar algo de un lado de la ecuación sin sumarse lo al otro lado o sin restarlo de nuevo al mismo lado es fundamentalmente cambiar el valor de la ecuación entonces y sume uno del lado izquierdo tengo que sumar uno del lado derecho para que esta ecuación se mantenga o dicho de otra manera puedo sumar 1 y restar 1 del mismo lado de la ecuación realmente no estoy cambiando el valor del lado izquierdo de la ecuación se mantiene porque lo único que estoy haciendo es sumando 1 y restando 1 ahora seguramente te estás preguntando por qué hicimos esto y es que realmente no cambie el valor de esta ecuación que tengo aquí sume 1 y reste 1 pero lo hice por una razón principal quiero que ahora observes que esta parte que tengo aquí es más déjenme ponerla con este color esta parte del principio de nuestra ecuación ahora concuerda con el patrón que tengo aquí con x cuadrada + 2 x más cuadrada ahora concuerda con esto que tengo aquí aquí tengo a x cuadrada después tengo a 2 a x y aquí tengo a menos 2 en este caso a vale menos 1 y después tengo a cuadrada que es menos 1 elevado al cuadrado y después tengo menos 8 menos 1 lo cual va a equivaler a la parte de ve esto que tengo aquí ahora va a representar al menos 8 menos 1 es menos 9 así que ya sabemos que b vale menos 9 entonces todo esto lo podemos reescribir de la siguiente manera esta parte del principio me va a quedar como x x y primero lo voy a poner así más o menos 1 porque a vale menos 1 más menos 1 todo esto elevado al cuadrado observa que tenemos el mismo patrón que tengo aquí que lo podríamos factorizar como x + ha elevado al cuadrado o bien si quieres para que no te confundas lo puedo poner ya directo como x menos 1 - 1 esto elevado al cuadrado es exactamente lo mismo que x cuadrado menos 2 x 1 y luego tenemos este menos 9 déjame ponerlo así después tenemos este menos 9 y después tenemos esta ecuación igual a cero después tengo esto igualado a cero y ahora si podemos sumar 9 a ambos lados de la ecuación voy a sumar 9 de lado izquierdo y 9 del lado derecho de tal manera que déjame ponerlo así voy a sumar estos 2 y estos 2 y estos dos se van a cancelar y ya solamente me voy a quedar con la expresión al cuadrado del lado izquierdo de la ecuación me va a quedar x menos 1 esto elevado al cuadrado va a ser igual a hacer más 9 lo cual es 9 y ahora si si tengo algo al cuadrado que es igual a 9 eso significa que ese algo debe de ser igual a la raíz cuadrada positiva o negativa de 9 entonces x menos 1 va a ser igual a más menos 3 a 3 positivo o 3 negativo entonces déjame escribirlo aquí entonces vamos a tener que x menos 1 es igual a 3 positivo x 1 x 1 es igual a menos 3 porque fíjate si ponemos aquí 3 y lo elevamos al cuadrado obtenemos 9 y si ponemos aquí al menos 3 y lo elevamos al cuadrado también obtenemos 9 así que para obtener el valor de x que te parece si sumo uno de ambos lados sumo uno de ambos lados muy bien de este lado estos dos se van a ir y voy a obtener que x es igual a tres más uno lo cual es cuatro o en su dado caso voy a sumar uno de ambos lados de esta ecuación estos dos se van y me queda que x es igual a menos tres más uno lo cual es menos 2 entonces x igual a 4 x igual a menos 2 son los valores de x que satisfacen esta ecuación y ya terminamos y bueno tal vez te estás preguntando por qué nos tomamos la molestia de completar al cuadrado ya que pudimos ser capaces de factorizar esto de una manera muy sencilla este problema particular seguramente lo pudimos haber hecho de una manera muy sencilla pero completando el cuadrado es un método muy poderoso ya que siempre lo puedes aplicar y en un futuro aprenderás la fórmula cuadrática y ésta viene directamente de completar el cuadrado de hecho cuando aplicas la formula cuadrática esencialmente aplicas el resultado de completando el cuadrado en fin espero que hayas encontrado todo esto muy divertido