Interpreta modelos cuadráticos: forma canónica

Nos dicen que: "Taylor abrió un restaurante. El  valor neto del restaurante (en miles de dólares),   t meses después de su apertura, se modela con  v(t) = 2t² - 20t. Taylor quiere saber cuál será   el valor neto más bajo del restaurante", subrayaré  eso, "y cuándo alcanzará ese valor". Así que vamos   a desglosarlo paso a paso. La función que describe  cómo el valor del restaurante -el valor neto del   restaurante- cambia en el tiempo está justo aquí.  Si tuviéramos que graficarla podríamos ver que el   coeficiente en el término cuadrático es positivo,  tendría una forma de parábola con apertura hacia   arriba. No sé exactamente cómo se ve, podemos  pensar en eso en un segundo. Va a tener algún   punto, justo aquí, que realmente es el vértice  de esta parábola donde va a alcanzar su valor   más bajo, y eso sucederá en algún momento t,  si te imaginas que esto de aquí es el eje t.   Así que mi primera pregunta es: ¿hay alguna forma  de reescribir esta función algebraicamente, de   modo que sea muy fácil identificar ese punto bajo  que es esencialmente el vértice de esta parábola?   Pausa este video y piénsalo. Muy bien, puedes  imaginar que la forma a la que me refiero es la   forma de vértice de la parábola, donde podemos ver  claramente el vértice, y la forma en que podemos   hacer eso en realidad es completando el cuadrado.  Así que lo primero que haremos es factorizar 2,   porque 2 es un factor común de ambos términos,  de modo que v(t) = 2 (t² - 10t), y voy a dejar   un espacio porque completar el cuadrado que nos  lleva a la forma de vértice se trata de sumar y   restar el mismo valor en un lado. En realidad  no estamos cambiando el valor de ese lado,   pero lo estamos escribiendo de manera que  tengamos una expresión cuadrada perfecta,   y luego probablemente vamos a sumar o restar algún  valor aquí. Ahora, ¿cómo hacemos para que esta   expresión sea un cuadrado perfecto? Si alguno  de estos pasos sobre completar el cuadrado no   te resulta familiar, te invito a que revises en  Khan Academy cómo completar el cuadrado. Pero la   forma en que completamos el cuadrado es mirar este  coeficiente de primer grado que es -10, tomamos   la mitad y lo elevamos al cuadrado, entonces la  mitad de -10 es -5, y si lo elevamos al cuadrado   es igual a 25, así que sumamos 25. Entonces  esto convertirá la expresión en un cuadrado   perfecto, y podemos ver que esto es equivalente:  si sumamos 25, todo esto es equivalente a t -5²,   sólo esta parte de aquí. Es por eso que tomamos  la mitad de esto y lo elevamos al cuadrado. Pero,   como lo mencionamos hace unos minutos, no podemos  simplemente agregar 25 a un lado de una ecuación   como esta, eso hace que esta igualdad ya no  sea cierta. De hecho, no sólo agregamos 25,   recordemos que tenemos este 2 aquí, agregamos 2  por 25. Podemos verificar que si redistribuimos   el 2, obtendremos 2 (t² - 20 + 50) + 2 x 25, de  modo que para que la igualdad siga siendo cierta,   tenemos que restar 50. Para ser claros,  no es que estemos haciendo algo extraño,   todo lo que hicimos fue sumar 50 y restar  50, podemos decir que agregamos 25 no 50,   pero cuando agregamos 25 aquí toda la expresión  que está entre paréntesis se multiplica por 2, así   que realmente agregamos 50. Entonces restamos 50  aquí para llegar a lo que originalmente teníamos,   y cuando lo vemos de esa manera ahora v(t) será  igual a 2 por esto que tenemos aquí, ya que vimos   que es (t - 5²) y luego tenemos - 50. Ahora, ¿por  qué es útil esta forma? Esta es una forma de   vértice, es muy fácil identificar el vértice, es  muy fácil distinguir cuál es el punto más bajo:   el punto bajo se alcanza cuando esta parte  se minimiza; si tienes algo al cuadrado va   a llegar a su punto más bajo cuando este algo  sea 0, de lo contrario será un valor positivo,   y entonces esta parte de aquí va a ser igual a 0  cuando t sea igual a 5, de modo que el valor más   bajo resulta cuando t es igual a 5. Así que si  decimos v(5) = 2 (5 - 5)² - 50, observemos que   todo esto se convierte en 0, entonces v(5) = -50,  es entonces cuando llegamos a nuestro punto más   bajo en términos del valor neto del restaurante. t  representa meses, reescribimos nuestra función en   forma de vértice, de modo que es fácil identificar  este valor, y vemos que este punto bajo resulta   cuando t = 5, es decir, en un tiempo de 5 meses. Y  entonces, ¿cuál es ese valor neto más bajo? Bueno,   es -50, y recordemos la función nos da el  valor neto en miles de dólares, por lo que   el valor neto más bajo del restaurante es igual  a -50,000 dólares. Y podríamos preguntarnos ¿cómo   podemos tener un valor negativo de algo? Bueno,  imaginemos que el edificio vale 50,000 dólares,   pero el restaurante debe 100,000 dólares, entonces  tendría un valor neto de menos 50,000 dólares.