Estrategia para resolver ecuaciones cuadráticas

En este video hablaremos sobre algunas de las  dificultades que alguien podría enfrentar al   intentar resolver una ecuación cuadrática como  esta. ¿Por qué es una ecuación cuadrática? Bueno,   es cuadrática porque tiene este término de segundo  grado justo aquí, y es una ecuación porque hay   algo en ambos lados de un signo =. Entonces,  una estrategia que la gente podría intentar es,   ya que tenemos algo al cuadrado, ¿por qué no  tratar de sacar la raíz cuadrada de ambos lados?   Y si hiciéramos eso obtendríamos la √ x² + 4 x +  3 = √ -1. Inmediatamente vemos algunos problemas,   incluso si esto no fuera negativo aquí -ese es  el problema más obvio-, pero aunque esto fuera   un valor positivo, ¿cómo simplificaríamos o cómo  aislaríamos esta x? Hemos llegado bastante rápido   a un callejón sin salida: tomar la raíz cuadrada  de ambos lados de una cuadrática sin ton ni son   no será muy útil, así que pondré una gran X por  aquí. Otra estrategia que a veces las personas   tratan de hacer es aislar primero la x². Para  que puedas imaginarlo, permíteme reescribirlo:   x² + 4 x + 3 = -1. Podrían decir "Aislemos  esa x² restando 4x en ambos lados y restando   3 en ambos lados", y luego ¿qué pasa? En el lado  izquierdo, de hecho, queda sola la x² y en el   lado derecho obtienes -4 x - 4. Y ahora podrían  decir "Si tomo la raíz cuadrada de ambos lados,   podría obtener...", ahora voy a escribirlo: √ x²  es igual a, y podría intentar sacar el positivo   y el negativo en un lado para considerar  las raíces negativas: 4x negativo - 4,   y podría obtener algo como esto, obtendría:  x = ± √ -4x -4, pero esto aún no sirve todavía,   no sabemos qué es x y realmente no está claro  qué hacer con esto algebraicamente; entonces,   este es otro callejón sin salida. Ahora, hay  algunos casos en los que esta estrategia podría   haber funcionado, de hecho hubiera funcionado  si no tuviera este término primer grado,   si no tuviera este término x, por así decirlo;  entonces esta estrategia habría funcionado   suponiendo que hay algunas soluciones, pero si  tenemos un término x como este y no se cancela   de alguna manera -ya sabes, si hubiera otro 4x en  el otro lado, entonces podrías restar 4x de ambos   lados y se cancelarían-, pero si no puedes hacer  que desaparezcan estas cosas esta estrategia que   acabo de describir no será productiva. Otra  estrategia que a veces usan las personas,   especialmente cuando ven algo como esto -permíteme  volver a escribirlo: x² + 4 x + 3 = 1 negativo-,   inmediatamente intentan factorizarlo, dicen  "Oye, espera, creo que podría factorizar esto:   puedo pensar en dos números cuya suma es 4 y cuyo  producto es 3, quizá 3 y 1", y entonces factorizan   inmediatamente esta expresión del lado izquierdo y  les queda (x + 3 ) (x + 1) y luego será igual a 1   negativo, y luego, o están a punto de cometer  un error, ya que esto en realidad es válido   algebraicamente, pero o se equivocan o sea dan  cuenta de que están en un callejón sin salida,   porque sólo decir que algo multiplicado por algo  es igual a 1 negativo no ayuda mucho, debido a que   aún no está claro cómo resolverían para x. Otra  cosa que tratan de hacer es decir "Por lo tanto,   x = 3 negativo o x = 1 negativo porque 3 negativo  hará que este primer término sea igual a 0 o 1   negativo hará que el segundo término sea 0"; pero  recuerda que esto sólo es cierto si multiplicas   dos cosas y su producto es cero. Entonces las  soluciones serían cualquier cosa que hicieran que   alguno de estos términos fuera igual a 0. Pero eso  no es lo que estamos tratando aquí; aquí nos dicen   que el producto es igual a 1 negativo, por lo que  para factorizar así y avanzar en la mayoría de los   casos querrás tener un 0 aquí en el lado derecho.  Y eso también es cierto si estamos tratando de   aplicar la fórmula cuadrática. Mucha gente diría  "Está bien, veo una ecuación cuadrática aquí,   permíteme aplicar la fórmula cuadrática: dicen  que si tengo algo de la forma ax² + bx + c = 0,   por la fórmula cuadrática las raíces van a  ser x = -b ± √ b² - 4ac, todo eso sobre 2a",   y entonces dirán de inmediato "Muy bien, aquí hay  un coeficiente implícito: a es 1, b es 4, c es 3",   y dirán que x = -4 ± √ b² que es 16 - 4 • 1 • 3  y todo esto entre 2 por 1. Pero hay un problema:   la fórmula cuadrática se aplica cuando el lado  izquierdo es igual a 0, eso no es lo que tenemos   aquí, entonces estamos cayendo en el mismo error,  por lo que nada de lo que acabo de escribir es una   buena idea. Entonces, la forma de abordar esto,  si deseamos tener un 0 aquí, es sumar 1 en el   lado derecho y, para mantener la igualdad, debemos  agregar 1 en el lado izquierdo, y entonces vamos   a obtener x² + 4 x + 4 = 0. Y ahora sí podemos  usar la fórmula cuadrática o podríamos factorizar,   podemos reconocer que 2 + 2 = 4, 2 • 2 = 4,  entonces podríamos decir que (x + 2) (x + 2) = 0.   En este caso, x podría ser igual a 2 negativo  o x podría ser igual a 2 negativo, así que ésta   tiene sólo una solución: x = 2 negativo. Pero la  clave es reconocer que necesitamos el 0 en el lado   derecho si queremos usar una fórmula cuadrática  o factorizar y usar la propiedad del producto 0.