Introducción a la factorización del cuadrado perfecto

en este vídeo vamos a aprender cómo reconocer y factorizar polinomios cuadrados perfectos digamos que por ejemplo tenemos el polinomio x cuadrada + 6 x + 9 y alguien pregunta cómo podemos factorizar esto en dos binomios bueno si usamos las técnicas que aprendimos en otros vídeos podemos ver que necesitamos encontrar dos números cuyo producto sea 9 y cuya suma sea 6 los animo a pausar el vídeo y a pensar en esto cuáles dos números pueden sumar 6 y si los multiplicamos el resultado es 9 bueno el 9 tiene los factores 13 y 9 y 19 no es igual a 6 y 1 negativo más 9 negativo no es igual a 6 pero 3 por 3 es igual a 9 y 3 más 3 es igual a 6 3 por 3 33 y podemos factorizar esto como x 3 por x 3 lo que por supuesto es igual a x + 3 al cuadrado y que es lo que tiene esta expresión que la podemos reconocer como un cuadrado perfecto bueno que tenemos una variable que se ha elevado al cuadrado y tenemos una constante que es un cuadrado perfecto y lo que sea que fue elevado al cuadrado aquí lo tengo dos veces como el coeficiente del término de primer grado veamos si eso es generalmente cierto digamos que tenemos a cuadrada más 14 a más 49 aquí están sucediendo cosas interesantes muy bien tengo mi variable al cuadrado tengo un término constante que es un cuadrado perfecto que 7 al cuadrado y el coeficiente de mi término de primer grado es 2 veces lo que fue elevado al cuadrado de este lado dos veces siete no podemos decir que es 77 así que podemos ver inmediatamente que sí queremos factorizar esto va a ser igual a más 7 al cuadrado y lo podemos verificar multiplicándolo tratando de resolver a más 7 al cuadrado y cuando estás aprendiendo a resolver esto puedes pensar que es tan fácil como decir bueno esto es igual a cuadrada más 7 al cuadrado pero no recuerda que esto es igual a multiplicar a más 7 por 7 y lo que tenemos que hacer aquí es aplicar la propiedad distributiva dos veces primero tenemos que multiplicar a más 7 por esta y eso va a ser igual a a más 7 por a y ahora distribuimos el 7 esto es igual a más siete por siete a cuadrada más 7 a más 7a 49 ahora podemos ver de dónde sale 14 a es el resultado de 7 a 7 y también vemos de dónde sale a cuadrada y 49 y podemos pensar en esto de forma más general si tengo la expresión a + b y la elevó al cuadrado es lo mismo que a más b por amas b y hacemos exactamente lo que hicimos acá pero aquí lo estamos haciendo de forma general podemos pensar que a es un termino constante o una variable y si distribuimos esto va a ser igual a más b x está más a más b por esta vez y esto es igual a a cuadrada estoy haciendo la propiedad distributiva otra vez a cuadrada más a b más ave más de cuadrada este es igual a cuadrada más 2 a b más b cuadrada esta es la forma general a es una variable que puede ser x o en este caso a luego acá vamos a tener el término constante elevado al cuadrado y aquí dos veces la variable por la constante y les quiero mostrar una variante de esto si tenemos 25 10 x mas x cuadrada y queremos factorizar lo nos podemos dar cuenta de que es un cuadrado perfecto esto es 5 al cuadrado y tengo la variable elevada al cuadrado de este lado y luego el coeficiente en el término de primer grado es dos veces 5 e inmediatamente podemos reconocer esto como 5 x al cuadrado y por supuesto podemos reescribir este polinomio como x cuadrada más 10 x + 25 y en tal caso podemos decir que aquí tenemos la variable al cuadrado aquí tenemos el 5 elevado al cuadrado y aquí podemos ver que el coeficiente dos veces el 5 así que esto va a ser igual a x 5 al cuadrado y esto está bien porque estas dos cosas son absolutamente equivalentes