En el segundo párrafo, ¿cómo es que la Luna es lo suficientemente grande para bloquear el Sol? ¿No es el Sol mucho más grande?

Puedes tapar el sol con un dedo, todo depende de la distancia en que se encuentren ambos, ya que el tamaño puede parecer mayor(entre mas cerca el objeto) o menor(entre mas lejos el objeto).

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Curso: Álgebra 1 > Unidad 13

Lección 6: Factorizar cuadráticas por agrupación

Factorizar expresiones cuadráticas: coeficiente principal ≠ 1

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Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Lo que necesitas saber antes de tomar esta lección

El método de agrupación se puede usar para factorizar polinomios con

4

términos al sacar factores comunes varias veces. Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro artículo Introducción a la factorización por agrupación.

También recomendamos que revises nuestro artículo sobre factorizar cuadráticas con un coeficiente principal de 1 antes de continuar.

Lo que aprenderás en esta lección

En este artículo, usaremos la agrupación para factorizar cuadráticas con coeficiente principal diferente de

1

, como

2 x^{2} + 7 x + 3

Ejemplo 1: factorizar $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍

Como el coeficiente principal de

(2 x^{2} + 7 x + 3)

2

, no podemos usar el método de suma-producto para factorizar la expresión cuadrática.

En cambio, para factorizar

2 x^{2} + 7 x + 3

, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

2 \cdot 3 = 6

(el coeficiente principal multiplicado por el término constante) y una suma de

7

(el coeficiente de

x

Como

1 \cdot 6 = 6

1 + 6 = 7

, los dos números son

1

6

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

6

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

7

Producto: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Suma: $m + n = 7$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$\begin{aligned} (- 2) + (- 3) = - 5 \end{aligned}$ ‍

Hay que usar estos dos números para separar el término

x

en la expresión original. Así que podemos expresar nuestro polinomio como

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

Ahora podemos usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Agrupa términos. \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Factoriza los MCD. \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & ¡Factor común! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Factoriza 2 x + 1. \end{aligned}

La forma factorizada es

(2 x + 1) (x + 3)

Supón que escribimos el polinomio como

2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3

y luego lo agrupamos como sigue:

$\begin{aligned} 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 6 x) + (1 x + 3) & Agrupa términos. \end{aligned}$ ‍

Observa que esta agrupación también llevará a la factorización correcta.

$\begin{aligned} = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & Factoriza los MCD. \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & ¡Factor común! \\ = (x + 3) (2 x + 1) & Factoriza x + 3. \\ = (2 x + 1) (x + 3) & La mult. es conmutativa. \end{aligned}$ ‍

Siempre que encuentres el camino correcto para separar el término

x

, no importa cuál parte pongas en el primer grupo y cuál en el segundo.

Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que los factores multiplicados dan de nuevo

2 x^{2} + 7 x + 3

Resumen

En general, podemos usar los siguientes pasos para factorizar una cuadrática de la forma

a x^{2} + b x + c

Comienza por encontrar dos números que multiplicados den $a c$ ‍ y sumados den $b$ ‍.
Usa estos números para separar el término $x$ ‍.
Usa la agrupación para factorizar la expresión cuadrática.

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

Para factorizar

3 x^{2} + 10 x + 8

, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

3 \cdot 8 = 24

y una suma de

10

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

24

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

10

Producto: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Suma: $m + n = 10$ ‍
$1 \cdot 24 = 24$ ‍		$1 + 24 = 25$ ‍
$2 \cdot 12 = 24$ ‍		$2 + 12 = 14$ ‍
$3 \cdot 8 = 24$ ‍		$3 + 8 = 11$ ‍
$4 \cdot 6 = 24$ ‍		$4 + 6 = 10$ ‍

(Observa que no necesitamos listar los factores negativos aquí, ¡pues nos darán una suma negativa!).

Ahora podemos descomponer el término

10 x

4 x + 6 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 3 x^{2} + 10 x + 8 \\ = 3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 4 x) + (6 x + 8) & Agrupa términos. \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & Factoriza los MCD. \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & ¡Factor común! \\ = (3 x + 4) (x + 2) & Factoriza 3 x + 4. \end{aligned}

La forma factorizada es

(3 x + 4) (x + 2)

2) Factoriza $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

Para factorizar

4 x^{2} + 16 x + 15

, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

4 \cdot 15 = 60

y una suma de

16

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

60

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

16

Producto: $m \cdot n = 60$ ‍	‍	Suma: $m + n = 16$ ‍
$1 \cdot 60 = 60$ ‍		$1 + 60 = 61$ ‍
$2 \cdot 30 = 60$ ‍		$2 + 30 = 32$ ‍
$4 \cdot 15 = 60$ ‍		$4 + 15 = 19$ ‍
$5 \cdot 12 = 60$ ‍		$5 + 12 = 17$ ‍
$6 \cdot 10 = 60$ ‍		$6 + 10 = 16$ ‍

(Observa que no necesitamos listar los factores negativos aquí, ¡pues nos darán una suma negativa!).

Ahora podemos descomponer el término

16 x

6 x + 10 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 16 x + 15 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 10 x + 15 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (10 x + 15) & Agrupa términos. \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & Factoriza los MCD, \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & ¡Factor común! \\ = (2 x + 3) (2 x + 5) & Factoriza 2 x + 3. \end{aligned}

La forma factorizada es

(2 x + 3) (2 x + 5)

Ejemplo 2: factorizar $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍

Para factorizar

6 x^{2} - 5 x - 4

, necesitamos encontrar dos enteros cuyo producto sea

6 \cdot (- 4) = - 24

y cuya suma sea

- 5

Como

3 \cdot (- 8) = - 24

3 + (- 8) = - 5

, los números son

3

- 8

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

- 24

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

- 5

Producto: $m \cdot n = - 24$ ‍	‍	Suma: $m + n = - 5$ ‍
$1 \cdot (- 24) = - 24$ ‍		$1 + (- 24) = - 23$ ‍
$- 1 \cdot 24 = - 24$ ‍		$- 1 + 24 = 23$ ‍
$2 \cdot (- 12) = - 24$ ‍		$2 + (- 12) = - 10$ ‍
$- 2 \cdot 12 = - 24$ ‍		$- 2 + 12 = 10$ ‍
$3 \cdot (- 8) = - 24$ ‍		$3 + (- 8) = - 5$ ‍
$- 3 \cdot 8 = - 24$ ‍		$- 3 + 8 = 5$ ‍
$4 \cdot (- 6) = - 24$ ‍		$4 + (- 6) = - 2$ ‍
$- 4 \cdot 6 = - 24$ ‍		$\begin{aligned} - 4 + 6 = 2 \end{aligned}$ ‍

Ahora podemos escribir el término

- 5 x

como la suma de

3 x

- 8 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Agrupa términos. \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & Factoriza los MCD. \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Simplifica. \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & ¡Factor común! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & Factoriza 2 x + 1. \end{aligned}$ ‍

La forma factorizada es

(2 x + 1) (3 x - 4)

Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que los factores multiplicados dan de nuevo

6 x^{2} - 5 x - 4

Toma nota: en el paso

(1)

anterior, observa que como el tercer término es negativo, se insertó un "+" entre los dos grupos para mantener la expresión equivalente a la original. También, en el paso

(2)

, necesitamos factorizar un MCD negativo del segundo grupo para revelar un factor común de

2 x + 1

. ¡Ten cuidado con los signos!

Comprueba tu comprensión

3) Factoriza $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

Para factorizar

2 x^{2} - 3 x - 9

, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

2 \cdot (- 9) = - 18

y una suma de

- 3

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

- 18

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

- 3

Producto: $m \cdot n = - 18$ ‍	‍	Suma: $m + n = - 3$ ‍
$(- 1) \cdot 18 = - 18$ ‍		$(- 1) + 18 = 17$ ‍
$1 \cdot (- 18) = - 18$ ‍		$1 + (- 18) = - 17$ ‍
$(- 2) \cdot 9 = - 18$ ‍		$(- 2) + 9 = 7$ ‍
$2 \cdot (- 9) = - 18$ ‍		$2 + (- 9) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 6 = - 18$ ‍		$(- 3) + 6 = 3$ ‍
$3 \cdot (- 6) = - 18$ ‍		$3 + (- 6) = - 3$ ‍

Ahora podemos descomponer el término

- 3 x

3 x - 6 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 9 \\ = 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9 \\ = (2 x^{2} + 3 x) + (- 6 x - 9) & Agrupa términos. \\ = x (2 x + 3) + (- 3) (2 x + 3) & Factoriza los MCD. \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & Simplifica. \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & ¡Factor común! \\ = (2 x + 3) (x - 3) & Factoriza 2 x + 3 \end{aligned}

La forma factorizada es

(2 x + 3) (x - 3)

4) Factoriza $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

Para factorizar

3 x^{2} - 2 x - 5

, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

3 \cdot (- 5) = - 15

y una suma de

- 2

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

- 15

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

- 2

Producto: $m \cdot n = - 15$ ‍	‍	Suma: $m + n = - 2$ ‍
$(- 1) \cdot 15 = - 15$ ‍		$(- 1) + 15 = 14$ ‍
$1 \cdot (- 15) = - 15$ ‍		$1 + (- 15) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot 5 = - 15$ ‍		$(- 3) + 5 = 2$ ‍
$3 \cdot (- 5) = - 15$ ‍		$3 + (- 5) = - 2$ ‍

Ahora podemos descomponer el término

- 2 x

- 5 x + 3 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 3 x^{2} - 2 x - 5 \\ = 3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5 \\ = (3 x^{2} - 5 x) + (3 x - 5) & Agrupa términos. \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & Factoriza los MCD. \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & ¡Factor común! \\ = (3 x - 5) (x + 1) & Factoriza 3 x - 5. \end{aligned}

La forma factorizada es

(3 x - 5) (x + 1)

5) Factoriza $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

Para factorizar

6 x^{2} - 13 x + 6

, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

6 \cdot 6 = 36

y una suma de

- 13

Para encontrar estos números, podemos crear una lista de todos los números que multiplicados den

36

. Luego, dentro de esa lista, nos fijamos en los que sumen

- 13

Puesto que los números suman un número negativo, solo tenemos que considerar cuando ambos factores son negativos.

Producto: $m \cdot n = 36$ ‍	‍	Suma: $m + n = - 13$ ‍
$(- 1) \cdot (- 36) = 36$ ‍		$(- 1) + (- 36) = - 37$ ‍
$(- 2) \cdot (- 18) = 36$ ‍		$(- 2) + (- 18) = - 20$ ‍
$(- 3) \cdot (- 12) = 36$ ‍		$(- 3) + (- 12) = - 15$ ‍
$(- 4) \cdot (- 9) = 36$ ‍		$(- 4) + (- 9) = - 13$ ‍
$(- 6) \cdot (- 6) = 36$ ‍		$(- 6) + (- 6) = - 12$ ‍

Ahora podemos descomponer el término

- 13 x

- 4 x - 9 x

y usar la agrupación para factorizar el polinomio:

\begin{aligned} 6 x^{2} - 13 x + 6 \\ = 6 x^{2} - 4 x - 9 x + 6 \\ = (6 x^{2} - 4 x) + (- 9 x + 6) & Agrupa términos. \\ = 2 x (3 x - 2) + (- 3) (3 x - 2) & Factoriza los MCD. \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & Simplifica. \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & ¡Factor común! \\ = (3 x - 2) (2 x - 3) & Factoriza 3 x - 2. \end{aligned}

La forma factorizada es

(3 x - 2) (2 x - 3)

¿Cuándo es útil este método?

Bueno, claramente, el método es útil para factorizar cuadráticas de la forma

a x^{2} + b x + c

, incluso cuando

a \neq 1

Sin embargo, no siempre es posible factorizar una expresión cuadrática de esta forma con nuestro método.

Por ejemplo, tomemos la expresión

2 x^{2} + 2 x + 1

. Para factorizarla, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de

2 \cdot 1 = 2

y una suma de

2

. Intenta tanto como puedas, no encontrarás esos dos enteros.

Por lo tanto, nuestro método no funciona para

2 x^{2} + 2 x + 1

, y para un montón de otras expresiones cuadráticas.

Es útil recordar, sin embargo, que si este método no funciona, significa que la expresión no se puede factorizar como

(A x + B) (C x + D)

donde

A

B

C

D

son enteros.

¿Por qué funciona este método?

Profundicemos en por qué este método es existoso. Tendremos que usar un montón de letras aquí, ¡pero por favor ten paciencia!

Supón que la expresión cuadrática general

a x^{2} + b x + c

se puede factorizar como

(A x + B) (C x + D)

con enteros

A

B

C

D

Cuando desarrollamos el paréntesis, obtenemos la expresión cuadrática

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

¡Como la expresión es equivalente a

a x^{2} + b x + c

, los coeficientes correspondientes en las dos expresiones deben ser iguales! Esto nos da la siguiente relación entre todas las incógnitas (representadas por letras):

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Ahora, definamos

m = B C

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

De acuerdo con esta definición...

m + n = B C + A D = b

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

¡Y así

B C

A D

son los dos enteros que siempre estamos buscando cuando usamos este método de factorización!

El siguiente paso en el método, después de haber encontrado

m

n

, es descomponer el coeficiente de

x

, que es

b

, de acuerdo con

m

n

y factorizar usando la agrupación.

De hecho, si descomponemos el término de

x

(B C + A D) x

, en

(B C) x + (A D) x

, seremos capaces de usar la agrupación para factorizar nuestra expresión de nuevo como

(A x + B) (C x + D)

En conclusión, en esta sección nosotros...

comenzamos con la expresión general desarrollada $a x^{2} + b x + c$ ‍ y su factorización general $(A x + B) (C x + D)$ ‍,
fuimos capaces de encontrar dos números, $m$ ‍ y $n$ ‍, tales que $m n = a c$ ‍ y $m + n = b$ ‍ $($ ‍lo hicimos al definir $m = B C$ ‍ y $n = A D)$ ‍,
descompusimos el término $x$ ‍, $b x$ ‍, en $m x + n x$ ‍, y fuimos capaces de factorizar la expresión desarrollada de nuevo como $(A x + B) (C x + D)$ ‍.

Este proceso muestra por qué, si una expresión se puede factorizar como

(A x + B) (C x + D)

, con nuestro método podemos estar seguros de encontrar esta factorización.

¡Gracias por aguantar hasta el final!

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Zúñiga Chávez Johns Arturo
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “En el segundo párrafo, ¿c...” de Zúñiga Chávez Johns Arturo
En el segundo párrafo, ¿cómo es que la Luna es lo suficientemente grande para bloquear el Sol? ¿No es el Sol mucho más grande?
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- eddyf
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Karolyn863
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Por que la matematica es ...” de Karolyn863
Por que la matematica es un poco dificil si no se le presta atencion?
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- noahbeatt
  Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “por que como todo en la v...” de noahbeatt
  por que como todo en la vida, necesitas invertir tiempo para dominar algun habito o tecnica, si no le inviertes el tiempo necesario sera muy dificil, por que ni siquiera lo entiendes.
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Herminio Debernardi Miranda
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “dejando mi comentario par...” de Herminio Debernardi Miranda
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Ian Ceglarski
Publicado hace hace 5 meses. Enlace directo a la publicación “Alguien podria explicarme...” de Ian Ceglarski
Alguien podria explicarme las maneras de factorizar ecuaciones con 2 incognitas?
(ej.) 2x^2 - 2xy - y
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Angel Gonzalez Acevedo
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “esta mas o menos dificil ...” de Angel Gonzalez Acevedo
esta mas o menos dificil de lo que crei pero me la pase
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jesica lezama
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “¿para que problemas se ne...” de jesica lezama
¿para que problemas se necesita factorizar?
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Chavez Rivera Misael Ivan
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “En el segundo párrafo, ¿c...” de Chavez Rivera Misael Ivan
En el segundo párrafo, ¿cómo es que la Luna es lo suficientemente grande para bloquear el Sol? ¿No es el Sol mucho más grande?
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