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Álgebra 1
Curso: Álgebra 1 > Unidad 13
Lección 6: Factorizar cuadráticas por agrupación- Introducción a la agrupación
- Factorizar por agrupación
- Factorizar cuadráticas por agrupación
- Factorizar expresiones cuadráticas: coeficiente principal ≠ 1
- Factoriza cuadráticas por agrupación
- Factorizar cuadráticas: factor común + agrupación
- Factorizar cuadráticas: factor negativo común + agrupación
- Pausa para la creatividad: ¿Cómo podemos combinar formas de pensar en la resolución de problemas?
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Factorizar expresiones cuadráticas: coeficiente principal ≠ 1
Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).
Lo que necesitas saber antes de tomar esta lección
El método de agrupación se puede usar para factorizar polinomios con términos al sacar factores comunes varias veces. Si esto es nuevo para ti, querrás revisar nuestro artículo Introducción a la factorización por agrupación.
También recomendamos que revises nuestro artículo sobre factorizar cuadráticas con un coeficiente principal de 1 antes de continuar.
Lo que aprenderás en esta lección
En este artículo, usaremos la agrupación para factorizar cuadráticas con coeficiente principal diferente de , como .
Ejemplo 1: factorizar
Como el coeficiente principal de es , no podemos usar el método de suma-producto para factorizar la expresión cuadrática.
En cambio, para factorizar , necesitamos encontrar dos enteros con un producto de (el coeficiente principal multiplicado por el término constante) y una suma de (el coeficiente de ).
Como y , los dos números son y .
Hay que usar estos dos números para separar el término en la expresión original. Así que podemos expresar nuestro polinomio como
.
Ahora podemos usar la agrupación para factorizar el polinomio:
La forma factorizada es .
Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que los factores multiplicados dan de nuevo .
Resumen
En general, podemos usar los siguientes pasos para factorizar una cuadrática de la forma :
- Comienza por encontrar dos números que multiplicados den
y sumados den . - Usa estos números para separar el término
. - Usa la agrupación para factorizar la expresión cuadrática.
Comprueba tu comprensión
Ejemplo 2: factorizar
Para factorizar , necesitamos encontrar dos enteros cuyo producto sea y cuya suma sea .
Como y , los números son y .
Ahora podemos escribir el término como la suma de y y usar la agrupación para factorizar el polinomio:
La forma factorizada es .
Podemos revisar nuestro trabajo al mostrar que los factores multiplicados dan de nuevo .
Toma nota: en el paso anterior, observa que como el tercer término es negativo, se insertó un "+" entre los dos grupos para mantener la expresión equivalente a la original. También, en el paso , necesitamos factorizar un MCD negativo del segundo grupo para revelar un factor común de . ¡Ten cuidado con los signos!
Comprueba tu comprensión
¿Cuándo es útil este método?
Bueno, claramente, el método es útil para factorizar cuadráticas de la forma , incluso cuando .
Sin embargo, no siempre es posible factorizar una expresión cuadrática de esta forma con nuestro método.
Por ejemplo, tomemos la expresión . Para factorizarla, necesitamos encontrar dos enteros con un producto de y una suma de . Intenta tanto como puedas, no encontrarás esos dos enteros.
Por lo tanto, nuestro método no funciona para , y para un montón de otras expresiones cuadráticas.
Es útil recordar, sin embargo, que si este método no funciona, significa que la expresión no se puede factorizar como donde , , y son enteros.
¿Por qué funciona este método?
Profundicemos en por qué este método es existoso. Tendremos que usar un montón de letras aquí, ¡pero por favor ten paciencia!
Supón que la expresión cuadrática general se puede factorizar como con enteros , , y .
Cuando desarrollamos el paréntesis, obtenemos la expresión cuadrática .
¡Como la expresión es equivalente a , los coeficientes correspondientes en las dos expresiones deben ser iguales! Esto nos da la siguiente relación entre todas las incógnitas (representadas por letras):
Ahora, definamos y .
De acuerdo con esta definición...
y
¡Y así y son los dos enteros que siempre estamos buscando cuando usamos este método de factorización!
El siguiente paso en el método, después de haber encontrado y , es descomponer el coeficiente de , que es , de acuerdo con y y factorizar usando la agrupación.
De hecho, si descomponemos el término de , , en , seremos capaces de usar la agrupación para factorizar nuestra expresión de nuevo como .
En conclusión, en esta sección nosotros...
- comenzamos con la expresión general desarrollada
y su factorización general , - fuimos capaces de encontrar dos números,
y , tales que y lo hicimos al definir y , - descompusimos el término
, , en , y fuimos capaces de factorizar la expresión desarrollada de nuevo como .
Este proceso muestra por qué, si una expresión se puede factorizar como , con nuestro método podemos estar seguros de encontrar esta factorización.
¡Gracias por aguantar hasta el final!
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H. Córdoba, Ver. a 04 de marzo del 2022
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- Alguien podria explicarme las maneras de factorizar ecuaciones con 2 incognitas?
(ej.) 2x^2 - 2xy - y(1 voto) - esta mas o menos dificil de lo que crei pero me la pase(1 voto)
- ¿para que problemas se necesita factorizar?(1 voto)
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