If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:16:30
CCSS.Math:
HSA.SSE.B.3
,
HSF.IF.C.8

Transcripción del video

en este vídeo quiero hacer un montón de ejemplos de cómo factorizar un polinomio de segundo grado que es también llamado a veces una cuadra una cuadrática a veces un polinomio cuadra tico una cuadriga una expresión cuadrática pero todo significa un polinomio de segundo grado y que algo que vamos a vamos a tener una variable elevada la segunda potencia en este caso en todos los ejemplos van a ser la variable x así que tenemos la expresión cuadrática x cuadrada más 10 x + 9 ok y quiero en kiev actualizarlo en el producto de dos binomios cómo hacemos eso no vamos a pensar qué pasa si yo tengo digamos x mas a que multiplica a x + b donde hay bessón cualesquiera dos números sale entonces qué pasa si yo multiplico esto bueno tenemos ya un poquito de experiencia en esto esto es x cuadrada luego x por b es bx más a por x x x más a por ve más a por b o si queremos agregar o sumar estos dos de en medio porque tienen el mismo coeficiente x podríamos escribir lo como x cuadrada más amas b verdad que multiplica x más a por ve entonces en general si suponemos que este es el producto de dos binomios veremos que el coeficiente de en medio ok este coeficiente de en medio en el término x digamos o hagamos esto esto va a ser la suma de a y b ley debe ser la suma de a y b y el término constante va a ser el producto de nuestros a y b esto se relaciona con esto y éste se relaciona con éste y por supuesto esto es lo mismo si con esta x cuadra verdad así que cómo podríamos utilizar esto para encontrar un ay b que cumplan que se puede factorizar es decir a más b debe cumplir que es -es y a por de debe ser igual a 9 igual a 9 muy bien ahora pensemos un poquito acerca de esto cuáles son los factores de 9 ok es decir dos números que multiplica 2009 bueno pues tenemos que ver cómo se factoría el mismo no de verdad vamos a factorizar con números enteros así que cuáles son los factores de nueve son 13 y 9 así que puede ser tres por tres o puede ser uno por nueve verdad si es un 3 x 3 entonces no tenemos que la suma sería 6 no sería 10 verdad pero sí es uno y nueve tendremos que su suma uno más 9 es igual a 10 así que éste funciona a podría ser uno y b podría ser igual a 9 así que podríamos factorizar esto como un x + 1 por x + 9 x y si multiplicas estos dos por supuesto utilizando las habilidades que ya hemos desarrollado en últimos vídeos podrás ver que es justamente este polinomio x cuadrada más 10 x +9 así que cuando ves algo así con los coeficientes bueno cuando el coeficiente en el término cuadro tico es uno entonces puedes pensar en dos números que sumados en el coeficiente en el término x y que multiplicados te den el término constante verdad en este caso tendría que ser multiplicados 9 y sumados tendrían que ser 10 esto si está en su forma estándar ok sí sí sí está en otra forma bueno tendríamos que hacer algunos ajustes pero bueno todo se reduce a haber dos números que sumados me den el término el coeficiente en x y que multiplicados media en el término constantí vamos a hacer más ejemplos para que esto tenga sentido vamos a hacer x cuadrada más 10 x 10 x ya no hay otro número digamos x 15 x +50 vamos a factorizar esto entonces es el mismo asunto tenemos un término x cuadrada y tenemos un término de primer orden y entonces éste debe ser la suma de dos números y este de aquí el término constante debe ser el producto de dos números así que hay que pensar dos números que cuando los multipliquen en 50 y sumados medem 15 y esto va a ser un poquito como un arte para que hay que desarrollar y necesitamos mucha práctica para que esto venga naturalmente entonces hay de quiénes pueden ser vamos a poner que 50 puede ser uno por 50 2 por 25 4 no tendré que ser 55 por yes y creo que eso es todo lo que vamos a intentar con estos números y ver si algunos de éstos al sumarlos me dan 15 digamos 1 y 50 x 50 pero sumados no dan 15 225 no te dan 15 pero 5 y 10 5 y 10 eso suman 15 y multiplicados nos dan 50 verdad entonces si queremos factorizar esto podríamos poner que es igual a x + 5 por x + 10 y si luego multiplicas en verdad te sugiero que lo hagas para que veas que en efecto te da este polinomio de segundo grado de hecho vamos a hacer lo vamos a hacer esto es x cuadrada y x x 10 son 10 x 5 x x 5 x 5 por 10 son 50 ahora no tenemos que 5 por 10 más de 55 x + 10 x nos da este término de medio que justo es 10x verdad perdón 15 x muy bien entonces vamos a hacer vamos a hacer algo distinto vamos a introducir uno que otro signo negativo para hacer más interesante digamos x cuadrada menos 11 x +24 es exactamente el mismo principio necesito pensar dos números que cuando los hombres me den menos 11 es decir a más bebés igual a menos once pero que multiplicados por be me den 24 que debe ser esto igual a 24 ahora hay algo que debes pensar aquí cuando multiplicó estos dos números estoy obteniendo un número positivo y obteniendo más 24 eso significa que ambos números deben ser positivos o ambos negativos verdad es la única forma en que este producto sea positivo ahora cuando lo sumo tengo un número negativo a positivo bueno tendría que sumar dos números positivos pero como la suma es negativa entonces estos números tienen que ser ambos negativos a y b son negativos verdad para que la suma sea negativa recuerden uno no puede ser negativo y el otro positivo porque entonces el producto sería negativo y aquí tenemos que es positivo entonces tienen que tener el mismo signo y como la suma es negativa entonces forzosamente deben ser ambos negativo así que pensamos cuáles son los factores de 24 vamos a pensar digamos uno por 24 1 por 24 2 por 11 8 por perdonar a 11 era tres por 8 4 por 6 ahora cuáles de éstos cuando los multiplicó bueno uno y 24 me dan 24 2 por la perdono aquí no es 11 aquí es 12 así que sabemos que estos son factores de 24 y que los al multiplicar los me dan justamente 24 verdad entonces al sumarlos por supuesto deben dar menos 11 entonces pensamos aquí en el 3 y el 8 3 por 8 es igual a 24 y tres más 8 es igual a 11 ahora eso no funciona del todo verdad porque queremos menos 11 pero qué tal si hiciéramos ambos números negativos es decir menos tres por -8 es igual a 24 y menos 3 - 11 - 11 es menos a más y les sumó -8 es igual a menos y eso funciona muy bien verdad entonces al factorizar esto esto es x cuadrada menos 11 x +24 será igual x menos tres por equis -8 vamos a hacer otro 11 que vamos a mezclar un poquito digamos que tengo x cuadrada más 5 x - oh perdón 14 aquí tenemos una situación diferente verdad del producto de dos números es negativo verdad a por b es menos 14 mil productos negativo eso me dice que uno de ellos tiene que ser positivo y el otro negativo y cuando sumó ambos números me da cinco positivo verdad así que pensamos en los factores otra vez de 14 qué combinaciones de ellos cuando lo sumo me da 5 y al multiplicar los -14 verdad ok entonces sí tomó por ejemplo el 1 y 14 si tengo uno por 14 digamos negativo 1 - 1 por 14 es menos 14 pero menos uno más 14 es 13 y 1 por -14 es menos 13 así que no nos y menos son dejan escribir bien esto es menos uno más 14 es 13 y uno más -14 es menos 13 éstos no funcionan porque no son iguales a cinco qué tal 2 y 7 y tengo menos dos dejen hacerlo con otro color si el hijo del -2 +7 esto es igual a 5 y estoy acá vamos verdad esto funciona digo intenté con menos 27 que el producto es menos 14 y su mamá me dan 5 verdad muy bien entonces ahí lo tienen esto va a ser x menos dos por x + 7 esto está bastante lindo verdad menos dos más 75 y menos 2 por 7 es menos 14 vamos a hacer más más ejemplos de esto es realmente quiero que tengan una habilidad muy bien desarrollada para esto digamos que tengo x cuadrada - x menos 56 así que el producto de estos dos números tiene que ser menos 56 ok y su diferencia porque uno tiene que ser positivo y el otro negativo verdad la diferencia tiene que ser menos uno y en los números que inmediatamente me votan del cerebro esto ya lo he aprendido varias veces es 8 por 7 medallas 56 bueno también puede estar por ejemplo el 28 por dos pero bueno realmente lo que quiero es 8 y 7 porque su diferencia debe ser cercano verdad tienen que ser cercanos para que su diferencia sea una verdad más bien menos son ahora si suma debe ser menos uno entonces al más grande hay que ponerle el signo menos verdad para que no queden negative entonces menos 8 por 7 es menos 56 y -8 +7 es igual a menos uno que es justo lo que tenemos aquí justo este coeficiente así que cuando lo factor hizo me queda x menos ocho por x + 7 esto es algo un poquito de los conceptos más difíciles que uno puede encontrarle en el álgebra porque es todo un arte verdad tienes que mirar los signos y las sumas y los productos que cuando es positivo cuando es negativo en fin mientras más práctica tengas verás que esto sale más naturalmente ahora vamos a hacer vamos a cambiar un poquito las cosas vamos a suponer que tengo menos x cuadrada o que siempre hemos tenido x cuadrada con el coeficiente positivo verdad ahora vamos a tener menos x cuadrada y digamos que tenemos menos 5 x +24 cómo hacemos esto bueno la forma más fácil que puedo pensar por ejemplo es factorizar un -1 y entonces se convierte en un problema como el anterior digamos que esto es menos uno por equis cuadrada más 5 x -24 verdad simplemente factory cede un -1 puede multiplicar el -1 por todo este polinomio y ver que es el origen a podría simplemente factorizar el -1 en fin esto es igual ahora esto es el mismo juego que anteriormente verdad necesito dos números que cuando se multipliquen me dan menos 24 y así que uno tiene que ser positivo y otro negativo y ahora cuando tome su suma o que realmente es la diferencia porque son vecinos contrarios debe ser cinco así que pensamos en los factores de 24 1 y 24 es uno positivo y menos 24 es menos 23 si es al revés es menos 124 eso me da 23 eso no funciona digamos el 2 y el 12 si es menos dos con 12 me da 10 10 2 con -12 entonces tendría menos 10 que aún no funciona digamos 3 y 8 si tengo menos en el 3 3 - 3 y 85 y eso funciona si elegimos menos 3 y 8 esto funciona perfectamente porque menos tres más ocho son cinco y menos tres por 8 es menos 24 verdad así que esto va a ser igual a menos 1 - 1 que factor hice por equis -3 ok y que multiplica x + 8 es la factorización de este polinomio de segundo grado después podría multiplicar el -1 por alguno de estos dos factores puedes hacerlo pues no hacerlo no importa hagamos uno más de estos mientras más práctica y lo mejor yo creo que sí que digamos que ahora tengo menos x cuadrada más 18 x menos 72 así que otra vez quiero factorizar el -1 verdad así que esto es menos uno por equis cuadrada menos 18 x + 72 ahora tenemos que pensar en los números que cuando los multiplique me da 72 y esto es positivo así que deben tener el mismo signo y eso lo hace mucho más fácil para pensarlo verdad así que al multiplicar los 272 y al sumarlos me da menos 18 así que tienen el mismo no y deben ser de signo negativo ambos tienen signo negativo y podríamos ir este por todos los factores de 72 pero bueno quizás no se 8 x 9 no sé pero por ejemplo -8 y -9 eso es menos 17 verdad es que estaba muy cerca de gm mostrarles al menos ocho menos -9 más -8 es menos 17 está cerca pero no es exactamente así que pensamos a lo mejor en en 6 y 12 menos seis más -12 eso es igual a menos 18 así que como ven es todo un arte tienen que tratar con todos los distintos factores así que esto será menos uno por x menos seis por x - 12