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Álgebra 1

Curso: Álgebra 1 > Unidad 13

Lección 2: Multiplicar binomios
Matemáticas
Álgebra 1
Cuadráticas: multiplicación y factorízación
Multiplicar binomios
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Calentamiento: multiplicación de binomios

Google Classroom
En este artículo vamos a obtener una práctica inicial con la multiplicación de binomios para prepararte para el ejercicio Introducción a la multiplicación de binomios.
Si no conoces la propiedad distributiva o no la recuerdas con suficiente claridad, te recomendamos consultar esta lección.

Ejemplo 1: desarrollar (x+2)(x+3)

Hay dos formas de pensar en esta operación. Ambas son igualmente válidas; puedes usar cualquiera con la que te sientas más cómodo.

Primer método: modelo de área

Imaginamos un rectángulo cuya altura es x+2 y cuyo ancho es x+3, y lo dividimos en cuatro sub-rectángulos:
Un modelo de área para un rectángulo que tiene una altura de x más dos y un ancho de x más tres. El rectángulo está dividido en cuatro rectángulos para aislar cada término en la altura y el ancho. El rectángulo superior izquierdo tiene una altura de x y un ancho de x. El rectángulo superior derecho tiene una altura de x y un ancho de tres. El rectángulo inferior izquierdo tiene una altura de dos y un ancho de x. El rectángulo inferior derecho tiene una altura de dos y un ancho de tres.
Ahora encontramos el área de cada sub-rectángulo multiplicando su ancho por su altura:
Un modelo de área para un rectángulo que tiene una altura de x más dos y un ancho de x más tres. El rectángulo está dividido en cuatro rectángulos para aislar cada término en la altura y el ancho. El rectángulo superior izquierdo tiene una altura de x y un ancho de x. El área del rectángulo superior izquierdo es x al cuadrado. El rectángulo superior derecho tiene una altura de x y un ancho de tres. El área del rectángulo superior derecho es tres x. El rectángulo inferior izquierdo tiene una altura de dos y un ancho de x. El área del rectángulo inferior izquierdo es dos x. El rectángulo inferior derecho tiene una altura de dos y un ancho de tres. El área del rectángulo inferior derecho es seis.
Ahora sabemos que esta es el área de todo el rectángulo, que es la expresión que buscamos:
x2+3x+2x+6
Podemos combinar los términos de x para obtener un trinomio estándar:
x2+5x+6

Segundo método: la propiedad distributiva

Podemos aplicar la propiedad distributiva dos veces para desarrollar la expresión:
=(x+2)(x+3)=(x+2)x+(x+2)3=x⋅x+2⋅x+x⋅3+2⋅3=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
De cualquier manera, ¡llegamos al mismo resultado! (x+2)(x+3) desarrollado es x2+5x+6.

Comprueba tu comprensión

Problema 1.1
Desarrolla y combina términos semejantes.
(x+3)(x+4)=
Escoge 1 respuesta:

Ejemplo 2: desarrollar (x−4)(x+7)

¿Por qué tenemos otro ejemplo? Bueno, multiplicar binomios se hace un poco más difícil cuando involucra la resta. Vamos a ver cómo se hace.

Primer método: modelo de área

Como siempre, dibujamos un rectángulo. Pero no olvides poner un signo menos en el 4.
Un modelo de área para un rectángulo que tiene una altura de x menos cuatro y un ancho de x más siete. El rectángulo está dividido en cuatro rectángulos para aislar cada término en la altura y el ancho. El rectángulo superior izquierdo tiene una altura de x y un ancho de x. El rectángulo superior derecho tiene una altura de x y un ancho de siete. El rectángulo inferior izquierdo tiene una altura de cuatro negativo y un ancho de x. El rectángulo inferior derecho tiene una altura de cuatro negativo y un ancho de siete.
Ahora encontramos el área de cada sub-rectángulo, teniendo en cuenta que la altura del rectángulo inferior izquierdo es −4, no 4.
Esto no tiene mucho sentido cuando se piensa en rectángulos y áreas reales, pero funciona con el álgebra.
Un modelo de área para un rectángulo que tiene una altura de x menos cuatro y un ancho de x más siete. El rectángulo está dividido en cuatro rectángulos para aislar cada término en la altura y el ancho. El rectángulo superior izquierdo tiene una altura de x y un ancho de x. El área del rectángulo superior izquierdo es x al cuadrado. El rectángulo superior derecho tiene una altura de x y un ancho de siete. El área del rectángulo superior derecho es siete x. El rectángulo inferior izquierdo tiene una altura de cuatro negativo y un ancho de x. El área del rectángulo inferior izquierdo es cuatro negativo x. El rectángulo inferior derecho tiene una altura de cuatro negativo y un ancho de siete. El área del rectángulo inferior derecho es veintiocho negativo.
Ahora sumamos las áreas de todos los sub-rectángulos:
=x2+7x+(−4x)+(−28)=x2+3x−28

Segundo método: la propiedad distributiva

Podemos aplicar la propiedad distributiva dos veces, ¡asegúrate de recordar ese signo menos!
=(x−4)(x+7)=(x−4)x+(x−4)7=x⋅x+(−4)⋅x+x⋅7+(−4)⋅7=x2−4x+7x−28=x2+3x−28

Comprueba tu comprensión

Problema 2.1
Desarrolla y combina términos semejantes.
(x−2)(x+5)=
Escoge 1 respuesta:

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