Potencias de productos y cocientes (exponentes enteros)

vamos a resolver algunos ejemplos de exponentes o productos de exponentes elevados a distintas potencias en particular trabajaremos con exponentes enteros digamos que tenemos tres a la menos 8 x 7 al cubo todo esto elevado a menos 2 y los invitó a que pausa en el vídeo y traten de resolver esto por su cuenta hay varias formas en las que podemos resolver esto pero hay un punto importante que debemos tener en cuenta y es que si tenemos el producto de dos cosas que están elevadas a cierto tipo de exponente va a hacer lo mismo que elevar cada una de estas cosas a sus exponentes y después realizar el producto esto va a hacer lo mismo que tener tres a la menos 8 y a su vez esto elevado a la menos 2 por 7 al cubo elevado a menos 2 y si queremos simplificar esto 3 a la menos 8 y a su vez a la menos 2 usaremos la otra propiedad de los exponentes en el que si tenemos un exponente elevado a otro exponente lo que vamos a hacer simplemente es multiplicar ambos exponentes así que esto será 3 a la menos 8 x menos dos y menos 8 x menos dos es 16 positivo así que esto es 3 a la 16 positivo y ahora esta parte de aquí 7 al cubo elevado a su vez al menos 2 va a ser 7 elevado a 3 x menos 2 qué es 7 al menos 6 y esto es lo más que podemos simplificar lo podemos reescribirlo de formas diferentes por ejemplo 7 a la menos 6 es lo mismo que 1 sobre 7 a las 6 así que podemos escribirlo 3 a la 16 entre 7 a las 6 estos dos son equivalentes y hay otras formas en las que pudimos resolver esto por ejemplo pudimos decir que esto de 3 a la menos 8 es lo mismo que uno sobre 3 a la 8 por lo que esto es igual a 7 al cubo sobre 3 a la 8 y después elevar esto a menos 2 y con esto elevaríamos el numerador a la menos 2 y el denominador a la menos 2 lo que nos daría exactamente esto de aquí hagamos otro problema ahora tenemos a la menos dos por ocho a las siete todo esto elevado a la segunda potencia de igual manera que en el ejemplo anterior puedo elevar cada uno de estos a la segunda potencia esto es igual a aa la menos 2 elevado a la segunda potencia x esto a la segunda potencia 8 a la 7 a su vez elevado a la 2 eso nos da 2 x menos 2 es menos 4 a la menos cuatro por 8 elevado a 7 por 2 14 en otros vídeos vemos más a detalle el por qué esto funciona aquí tenemos 8 a las 7 x 8 a las 7 y después sumamos esos dos exponentes que nos da el 14 lo que nos da 8 a la 14 así que en este caso para conocer la cantidad del exponente sumamos los exponentes las veces que indica aquí o simplemente hacemos la multiplicación de estos 2 espero no haberlos confundido con esto la idea general es que si tenemos algo elevado a un exponente que a su vez está elevado a otro exponente simplemente multiplicamos ambos exponentes hagamos otro ejemplo más en donde trabajemos con cocientes digamos que tenemos 2 a la menos 10 sobre 4 al cuadrado todo esto elevado a la séptima potencia esto es lo mismo que tener 2 a la menos 10 elevado a la séptima sobre 4 al cuadrado elevado a la séptima potencia si tenemos la diferencia entre dos cosas y la elevamos a cierta potencia va a ser lo mismo que elevar el numerador a esa potencia y el denominador también elevarlo a esa misma potencia cuál será nuestro numerador ya hemos hecho esto antes será 2 a la menos 10 por 7 que es lo mismo que 2 elevado a la potencia menos 70 y en el denominador tenemos 4 a la segunda potencia y a su vez a la séptima potencia multiplicamos 7 por 2 1 edad 4 elevado a la potencia 14 y podemos simplificar esto aún más hay varias formas en las que puedo simplificar el denominador una de ellas es darnos cuenta de que 4 es una potencia de 2 así que puedo reescribir esto de esta manera 2 a la menos 70 entre 2 a la 2 y a su vez esto elevado a la 14 4 es lo mismo que 2 al cuadrado así que puedo reescribir esto como 2 a la menos 70 entre 2 al cuadrado y a su vez elevado a la potencia 14 pues nos da 2 a la 28 ahora podemos simplificar más esto y nos queda que es igual a 2 elevado a recordemos que si tenemos un cociente con la misma base puedo restar los exponentes así que me quedan dos a la menos 70 menos 28 por lo que finalmente nos queda 2 a la potencia menos 98 que es otra manera de ver esta misma expresión