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Álgebra 1

Curso: Álgebra 1 > Unidad 9

Lección 2: Construir sucesiones aritméticas
Matemáticas
Álgebra 1
Sucesiones
Construir sucesiones aritméticas
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Fórmulas explícitas para sucesiones aritméticas

Google Classroom
Aprende a encontrar fórmulas explícitas de sucesiones aritméticas. Por ejemplo, encuentra la fórmula explícita de 3, 5, 7,...
Antes de continuar con esta lección, asegúrate de estar familiarizado con los fundamentos de las fórmulas de sucesiones aritméticas.

Cómo funcionan las fórmulas explícitas

Esta es una fórmula explícita de la sucesión 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
En la fórmula, n es cualquier número de término y a, left parenthesis, n, right parenthesis es el n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término.
Esta fórmula nos permite simplemente sustituir el número del término que nos interesa, y obtendremos el valor de ese término.
Para encontrar el quinto término, por ejemplo, necesitamos sustituir n, equals, 5 en la fórmula explícita.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
¡Genial! En efecto este es el quinto término de 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Comprueba tu comprensión

1) Encuentra b, left parenthesis, 10, right parenthesis en la sucesión dada por b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Escribir fórmulas explícitas

Considera la sucesión aritmética 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point el primer término es start color #0d923f, 5, end color #0d923f y la diferencia común es start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Podemos obtener cualquier término de la sucesión al tomar el primer término, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, y sumarle la diferencia común, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, repetidamente. Échale un vistazo, por ejemplo, a los siguientes cálculos de algunos de los primeros términos.
nCálculos para obtener el n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
La tabla muestra que podemos obtener el n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término (donde n es un número de término cualquiera) tomando el primer término, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, y sumándole la diferencia común, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, repetidamente n, minus, 1 veces. Esto puede escribirse algebraicamente como start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
En general, esta es la fórmula explícita estándar de una sucesión aritmética cuyo primer término es start color #0d923f, A, end color #0d923f y cuya diferencia común es start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Comprueba tu comprensión

2) Escribe una fórmula explícita para la sucesión 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Escribe una fórmula explícita para la sucesión 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) La fórmula explícita de una sucesión es f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
¿Cuál es la diferencia común?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Fórmulas explícitas equivalentes

La fórmulas explícitas pueden escribirse de muchas formas.
Por ejemplo, las siguientes son todas fórmulas explícitas para la sucesión 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (esta es la fórmula estándar)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Las fórmulas pueden parecer diferentes, pero lo importante es que podamos sustituir un valor de n y obtener el n, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript término correcto (prueba tú mismo con las otras fórmulas para verificar que son correctas).
A las diferentes fórmulas explícitas que describen la misma sucesión se les llama formulas equivalentes.

Una idea equivocada común

Una sucesión aritmética puede tener diferentes fórmulas equivalentes, pero es importante recordar que solo la forma estándar nos da el primer término y la diferencia común.
Por ejemplo, en la sucesión 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point el primer término es start color #0d923f, 2, end color #0d923f y la diferencia común es start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
La fórmula explícita start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis describe esta sucesión, pero la fórmula explícita start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n describe una sucesión diferente.
Para convertir la fórmula 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis en una fórmula equivalente de la forma A, plus, B, n, podemos quitar los paréntesis y simplificar:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Algunas personas pueden preferir la fórmula minus, 4, plus, 6, n porque es más corta que la fórmula equivalente 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis. Lo bueno de la fórmula larga es que a partir de ella podemos obtener el primer término.

Comprueba tu comprensión

5) Encuentra todas las fórmulas explícitas de la sucesión 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problemas de desafío

6*) Encuentra el 124, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript término de la sucesión aritmética 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7*) El primer término de una sucesión aritmética es 5 y el décimo término es 59.
¿Cuál es la diferencia común?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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