Introducción a las sucesiones geométricas

en este vídeo quiero dar una introducción al tema de las progresiones geométricas voy a escribir por aquí progresiones geométricas y bueno tengo un montón de vídeos más avanzados de este tema pero pensé que sería una buena idea tener un vídeo básico para que entendamos muy bien esta noción de progresiones geométricas y bueno una muy buena forma de empezar para explicar este concepto es explicar qué es una progresión de números una progresión de números es tomarnos algunos números acomodados de izquierda a derecha por ejemplo 1 2 3 4 5 es una progresión de números no va a ser una progresión geométrica como ahorita vamos a ver pero si es una progresión ahora una progresión geométrica es un tipo especial de progresión entonces que debe de cumplir esta progresión debe de cumplir lo siguiente que cada término está multiplicado por un número fijo vamos a ver un ejemplo para que entendamos cómo sucede esto supongamos que hay que el primer número de nuestra progresión es 2 y supongamos que se lo multiplicamos por 3 por tres ajá entonces si multiplicamos por tres nos queda seis multiplicando seis por tres nos queda 18 multiplicando 18 por 33 por 18 nos quedan 54 y así podríamos seguir escribiendo nuestra progresión geométrica entonces cuál fue el chiste que tenemos un término inicial a ver vamos a ponerle un poco de notación este de aquí es el primer término le voy a poner a uno y cada vez este primer término lo fuimos multiplicando por un número que permaneció fijo a este número fijo vamos a llamarle la razón común en este caso a uno es igual a 2 y r&r que es la razón común es igual a 3 le voy a poner aquí que es la razón la razón común ahora bueno supongamos que alguien llega y nos dice que tenemos una progresión geométrica que tiene a uno igual a 90 que suterm iniciales 90 y que la razón común es menos un tercio entonces eso qué quiere decir vamos a intentar desarrollar esta progresión el primero es 90 el segundo es menos un tercio x 90 que es que es menos 30 y menos un tercio por 90 es menos 30 luego hay que volver a multiplicar por menos un tercio a ver nos queda menos por menos nos queda más un tercio por 30 nos queda 10 entonces nos que debería quedar positivo y nos va a quedar un 10 entonces queda 10 si el siguiente número es 10 por menos un tercio es menos diez tercios hay que multiplicar una vez más por menos un tercio entonces menos por menos da más es diez tercios y así podríamos seguir y seguir y seguir con nuestra progresión salen entonces esto que platicamos es a lo que la gente se refieren cuando hablan de una progresión geométrica quiero hacer una pequeña distinción aquí porque es todo esto a confundirme un poco déjame hablar de otro término que se usa en un contexto similar esto de aquí que es una progresión del número son algunos números acomodados uno por uno verdad como aquí abajo hay perdón este último de acá es diez novenos verdad es menos un tercio por diez tercios menos por menos es más si nos queda diez novenos verdad no tercios novenos ahora estás de aquí son progresiones pero tal vez también hayas escuchado la palabra serie o más específicamente tal vez hayas escuchado la expresión seria geométrica sí y resulta que son términos distintos una progresión y una serie son cosas distintas una serie cuando cuando en matemáticas se dice serie usualmente nos referimos a la suma de algunos términos aquí abajo tenemos una progresión pero si por otro lado quisiéramos tener una serie entonces tendríamos que sumar 90 más menos 30 más 10 más menos 10 tercios más 10 novenos y entonces una forma de pensarlo es qué serie se refiere a la suma de algunos términos de una progresión quería dejar eso claro porque eso solía confundirme cuando yo estudié estas cosas primero pero bueno hecha esta aclaración regresemos al tema en cuestión que son las progresiones geométricas y lo que ahorita vamos a hacer es un problema ejemplo entonces vamos a ver qué nos dice el problema el problema nos dice que anna va a saltar del bonche sale entonces copiamos el problema a nada va a saltar del bong y lo ponemos por aquí y nos dan cierta información que tiene que ver con cómo se va estirando la cuerda cada vez que el bong el rebote ahí va al principio al principio en el primer brinco la cuerda lo voy a poner aún no va a ser nuestro termini cial la cuerda se estira 120 120 pies sale ahora déjenme escribir una tabla porque nos van a dar más información voy a poner una columna de brincos y voy a poner una segunda columna de cuanto se estira de cuánto se estira la cuerda del bungee entonces en el en el brinco inicial en el brinco número uno la cuerda se estira 20 pies salen y lo que nos dice el problema es que cada vez que rebotan a la cuerda se estira el 60% de la anterior es decir digan voy a escribirlo por aquí a la derecha es la razón común que nos dan es 60% pero eso escrito en número es 0.6 sale y entonces cada vez es la razón por la cual se multiplica el estiramiento en el segundo brinco va a ser 0.6 x 120 esta multiplicación la podemos hacer nos da 72 en el tercer brinco se va a volver a multiplicar por 0.6 sea 0.6 lo de arriba que es 0.6 por 0.6 por 120 y eso de ahí bueno vamos al cuarto brinco nos queda a ver veamos qué pasa hay que multiplicar el tercero otra vez por 0.6 entonces es 0.6 x 0.6 multiplicado por otro 0.6 y x 120 que es el tema inicial es el 60% del tercer brinco sale entonces si quisiéramos hacer una fórmula general para este problema vamos a escribirla por acá si quisiéramos hacer una fórmula general vamos a poner vamos a llamar el estiramiento en el enésimo brinco que tendríamos que hacer bueno debe de tener un debe tener un 120 va a poner voy a poner por aquí el 120 y eso hay que multiplicarlo hay que multiplicarlo por 0.6 lo voy a poner aquí a la izquierda y 0.6 y hay que elevarlo a qué potencia hay que elevarlo a la potencia inm uno como él dice para escribir eso déjame reescribir un poco la fórmula para que quede un poco más y mejor escrita esto es 0.6 no nos de hecho dejar de escribir el 120 primero esto es igual a 120 x 0.6 y eso elevado a la n-1 hay toda la explicación saber nos vamos para acá para la izquierda para la tabla en el primer brinco se estira 120 si ponemos en iguala 1 en el exponente aquí nos queda uno menos uno que es cero nos queda 0.6 a la cero que es un 1 y ese 1 también lo tenemos en la tabla aquí está 120 en el segundo brinco queda 2 - 1 en el exponente 2 - 11 nos queda 0.6 y ahí está el 0.6 entonces me di cuenta que era n menos 1 porque en el brinco 2 era un 10.6 cuando era 3 había 20 puntos 6 cuando era 4 había 30.6 era 0.6 al cubo entonces cualquier cosa que sea en la potencia debe ser n 1 entonces nos queda esta fórmula de aquí que nos dice el problema el problema nos pregunta acerca del estiramiento en el rebote número 12 pero fíjate que es el rebote entonces tenemos que hacer algún cambio a ver a ver a ver voy a sacar la calculadora pero antes de eso antes de eso vamos a replantear un poquito el problema no hemos hecho nada así demasiado mal pero como se está hablando del doceavo rebote y aquí lo que habíamos hecho es una tabla con brincos vamos a hacer un cambio en nuestro planteamiento del problema no íbamos mal pero el cambio es para que se parezca un poco más a lo que nos piden entonces el brinco número uno podemos pensarlo como de cero aquí en donde dice brincos le voy a cambiar para que ahora diga rebote y así el primer renglón de la fila estiramiento ahora corresponde al rebote cero y luego tenemos el primero el segundo y el tercer rebote vean cómo se desplaza con lo que teníamos pero esto nos ayuda a que la fórmula se vuelva más fácil por qué porque ahora si ponemos el estiramiento del enésimo rebote en el enésimo rebote la fórmula se hace más fácil porque nos quedan 0.6 elevado a la enésima potencia x 120 verdad en el rebote cero el rebote es cero nos queda 0.6 a la cero que son 1 % 20 en el primer rebote 0.6 a la 1 está un 10.6 es 0.6 por el estiramiento anterior y entonces esto ya está en términos de rebotes que ya nos va a ayudar más a resolver la pregunta entonces ahora sí qué pasa con el estiramiento cuando la cuerda del rebote número 2 ya podemos utilizar nuestra fórmula más directamente y ahora sí voy a sacar la calculadora saber nuestra fórmula nos dice 120 120 x 0.6 elevado elevado a la potencia 12 elevado a la 12 esto de aquí va a tener el orden de las operaciones bien porque los exponentes van antes que las multiplicaciones entonces 0.6 a la 12 a ver nos da 0.26 pies entonces lo vamos a poner por aquí son 0.26 y eso lo que nos dice es que se estira bien poquitos estira muy muy poquito la cuerda se estira más o menos como 3 pulgadas que es súper poquito espero que te haya sido útil este ejemplo disculpa por el replanteamiento que tuve que hacer y eso de cambiar pues de cambiar brincos por rebotes pero vaya pienso que fue instructivo para explicar que es bueno que nuestra fórmula siempre cuadre con pues con la n de la cual estamos hablando por ejemplo aquí teníamos brincos uno pero era 10 entonces ahí estaba un poquito desfasado pero ya que pongo todo en términos de los rebotes aquí estaba el rebote 0 y era 0.6 a la 0 aquí en el rebote uno llega a 0.6 a la 1 aquí igual el rebote 20 puntos 6 al cuadrado y así la fórmula cuadra va mucho mejor espero que te haya gustado