Fórmulas explícitas y recursivas para sucesiones geométricas

en esta tabla de aquí nos dan un montón de entradas en la parte superior al 1 2 3 4 y también tenemos a la correspondiente gdn lo que quiero que notes a continuación es que esta función cdn define una sucesión donde n es el término de la asociación por ejemplo podemos decir que esta tabla es la misma cosa que la siguiente sucesión imagínate tomarte la asociación en el cual el primer término es 168 168 el segundo término sería 84 84 el tercer término 42 40 y vemos el cuarto término 21 21 y así podríamos seguir y seguir y seguir y bueno ahora la pregunta va a ser qué tipo de sucesión es esta observa si empezamos en el 168 como pasamos del 168 al 84 bueno una forma de pensarlo sería decir lo que hicimos fue restar 84 pero la forma adecuada de pensarlo es que multiplicamos por un medio multiplicamos por un medio date cuenta que si ahora queremos ver qué pasó del 84 al 42 también multiplicamos por un medio y de la misma manera del 42 al 21 lo que hicimos fue multiplicar por un medio así que esto que tenemos aquí es una sucesión geométrica es decir empezamos con un término y cada término siguiente es el término previo multiplicado por algo que llamamos razón común en este caso estamos multiplicando por la razón común de un medio así que ahora la pregunta sería cómo podemos escribir cdn es decir cómo podemos definir explícitamente en términos de n g de n y te encargo que pausa es el vídeo y pienses en cómo hacerlo así que lo que queremos construir es un g un gp n igual y bueno tomando la definición de una función que escriba lo que está sucediendo aquí es decir empezar el 168 y después están multiplicando por un medio así que es momento de que lo pienses bueno pues una forma de pensarlo es empezar aquí en 168 en 168 ya este multiplicarlo por un medio cierto número de veces es decir puedes ver que en el exponente vamos a poner las veces que vamos a multiplicar por un medio y cuántas veces tenemos que multiplicar por un medio bueno pues veamos que en el primer término obtuvimos que multiplicar por un medio cero veces en el segundo término tuvimos que multiplicar por un medio una vez en el tercer término tuvimos que multiplicar por un medio 12 veces ya que el cuarto término tuvimos que multiplicar por un medio una dos tres veces así que si te das cuenta cada término que tengamos los tenemos multiplicando por un medio el número de término menos una vez es decir n uno y tú puedes ver que esto funciona porque cuando n vale uno me quedaría uno menos uno lo cual es cero un medio elevado a cero es uno y 168 por uno me darían 168 cuando n vale 2 me quedaría 2 -1 lo cual es 1 y entonces estaríamos multiplicando a 168 por un medio una vez y llegaríamos a 84 si n vale 3 me quedaría bueno 3 - 1 lo cual de las dos y entonces estaríamos multiplicando al 168 por un medio elevado al cuadrado o dicho de otra manera estaremos multiplicando dos veces al 168 por un medio así que esto suena a que realmente funciona esta expresión esta sería la función escrita de manera explícita ahora también lo puedes ver de otra manera puedes decir que cdn y solamente voy a usar un poco de manipulación algebraica es lo mismo que bueno este lo puedo pasar arriba y me quedaría 168 entre entre 2 elevado a la n menos 1 lo único que estoy haciendo es escribir la misma expresión de otra manera usando un poco de álgebra otra forma de verlo sería la siguiente decir v n es igual y bueno usando las propiedades de los exponentes podríamos ver vamos a escribir primero es de 168 168 y ahora quiero que te des cuenta de qué va a pasar con esta parte de aquí tengo un medio elevado a la n-1 lo cual tú sabes que es lo mismo usando propiedades de los exponentes que un médium elevado a la n un medio elevado a la menos 1 ahora date cuenta de lo siguiente un medio elevado de menos 1 estar aquí es exactamente lo mismo que 2 entonces lo podemos escribir de la siguiente manera esto me va a quedar como 168 que multiplica a un medio elevado a la n que multiplica a 2 y entonces ahora si puedo decir que esto va a ser igual y date cuenta es lo siguiente si yo multiplico 168 por dos entonces me va a quedar a 168 por 2 336 160 por 2 320 más 16 336 336 que multiplica a un medio elevado a la n es decir que esta forma es equivalente a esta otra forma que también es equivalente a esta otra forma las tres son expresiones equivalentes y tal vez ésta se pueda ver un poco más intuitiva porque decimos que de n es igual a la cantidad inicial con la que empezamos un medio elevado a el que sea el término menos uno pero estar acá es algebraica mente equivalente así que bueno pues estas tres son correctas ahora bien también podemos definir a esta misma gtn de forma recursiva así que te encargo que pausa es el vídeo y lo intentes bueno pues hagámoslo gbn en forma recursiva como lo podremos poner déjame escribirlo así head n bueno va a ser una función y vamos a tomarnos la de manera recursiva así que fíjate lo siguiente cuando n vale 1 si n vale 1 si n vale 1 bueno pues nosotros sabemos que esta función toma el valor de 168 ahora pensemos qué va a pasar cuando n es más grande que uno si n es más grande que uno y bueno recuerda que estamos usando números naturales es un número natural y es un número natural es decir estamos pensando en los enteros positivos bueno pues en este caso que vamos a tener bueno pues vamos a tomarnos un medio un medio y éste un medio lo vamos a multiplicar por qué de bueno del número anterior gdn menos 1 así lo vamos a definir y puedes verificar que esto funciona porque si en es uno bueno entonces simple y sencillamente empezamos en 168 lo cual lo sabíamos y qué va a pasar si n vale 2 bueno pues g2g de 2 va a ser igual a un medio deje de 1 071 es 168 y 168 y lo multiplicó por un medio llegó a 84 así que vamos bien que va a ser de 3 bueno pues g de 3 va a ser un medio de dos lo cual sería bueno aquí tenemos que de 284 y si lo multiplicamos por un medio llegamos a g de 3 así que estamos bien esta sería nuestra forma de definir esta sucesión mientras que esta es nuestra forma recursiva de definir esta sucesión