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Contenido principal

Razonar con ecuaciones lineales

Cuando resolvemos operaciones para manipular ecuaciones, algunas operaciones producen ecuaciones equivalentes, mientras que otras no necesariamente producen ecuaciones equivalentes. Cuando resolvemos una ecuación, necesitamos usar operaciones que garanticen la equivalencia. Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

En varios videos hemos trabajado con ecuaciones  como esta y hemos intentado resolver para x. Lo   que vamos a hacer en este video es profundizar  un poco nuestra comprensión sobre lo que sucede   en ellas y pensar, sobre todo, en la noción de  equivalencia o de enunciados equivalentes. Pero,   ¿a qué nos referimos con equivalencia? Bueno,  vamos a utilizar esta ecuación que tenemos aquí   para reescribirla de varias formas equivalentes y  hablaremos un poco más sobre lo que eso significa.   Una cosa que podemos hacer para escribir  un enunciado con la misma equivalencia es   distribuir este 3 en x + 1 y, por lo tanto, esta  parte se puede reescribir como: 3 x + 3 y después   tenemos -x = 9. Bien, lo que podría ser obvio de  alguna forma es que la ecuación de arriba y la   segunda ecuación son equivalentes. ¿Qué significa  eso? Significa que si una de ellas es   verdadera para una x dada, la otra también será  verdadera para la misma x y viceversa. Y podemos   escribir otros enunciados equivalentes. Por  ejemplo, si combinamos los términos con x,   es decir, si reducimos 3 x con -x, podemos  reescribirlos como 2x y además tenemos + 3 = 9.   Ahora, los tres enunciados son equivalentes:  si existe una x que cumple que 2x + 3 = 9,   entonces también es la misma x que cumple que 3 (x  + 1) - x = 9 y viceversa: si existe una x que haga   verdadera la ecuación de arriba, entonces la misma  x hará verdadera la última ecuación. Y como ya   hemos visto antes, podemos hacer otras operaciones  que preserven la equivalencia. Podemos restar 3   de ambos lados, en general si sumas o restas  el mismo valor de ambos lados de la ecuación,   la equivalencia se preserva; si distribuimos  un valor como lo hicimos en el primer paso,   la equivalencia se preserva; si combinamos  términos semejantes, la equivalencia se   preserva. Y por acá haremos una operación que  preserve la equivalencia: vamos a restar 3 de   ambos lados de la ecuación y obtenemos 2x  = 6. Una vez más: cualquier x que satisfaga   esta última ecuación también va a satisfacer  cualquiera de las otras ecuaciones y viceversa,   cualquier x que satisfaga cualquiera de estas  ecuaciones también va a satisfacer la última,   son equivalentes entre ellas. Ahora, otra  operación que preserva la equivalencia es   multiplicar o dividir por una constante distinta  de 0. Por aquí podemos dividir ambos lados por 2,   2 es distinto de 0 y es una constante, y si  hacemos eso tendremos otro enunciado equivalente:   x = 3, así que cualquier x que satisfaga esto, que  sólo es x = 3, va a satisfacer todas las demás, y   cualquier x que satisfaga todas las demás también  va a satisfacer la última. Entonces, todas estas   son equivalentes. Así que una forma de pensar en  esto es que, sumar o restar el mismo número de   ambos lados de la ecuación, multiplicar o dividir  de ambos lados por una constante distinta de 0,   distribuir como hicimos en el primer paso o  combinar y reducir términos semejantes, preserva   la equivalencia. Ahora, seguro te preguntas ¿qué  operaciones no preservan la equivalencia? Bueno,   imagina algo así, empecemos con algo bastante  obvio: si digo que x = 2 y pensamos en una   operación que no preserva la equivalencia,  sería sumar o restar o multiplicar o dividir   por un valor sólo en un lado de la ecuación.  Imagina que sólo sumamos 1 del lado izquierdo,   entonces tenemos que x + 1 = 2. Y en este caso,  lo que satisface esta ecuación no satisface   también la ecuación de arriba ni viceversa: x =  2 claramente satisface la ecuación de arriba pero   no satisface la segunda. La razón es que hicimos  una operación que no preserva la equivalencia. De   la misma forma, si sólo multiplico por 3 el lado  derecho de la ecuación, obtendré x = 6; bueno,   al multiplicar por un valor sólo el lado derecho  lo que satisfaga x = 6 no va a satisfacer x = 2,   esto es algo obvio. Ahora, también hay otros  escenarios un poco más intrincados. Digamos   que tenemos la ecuación 5x = 6x. Bueno, podemos  estar tentados a querer hacer lo mismo de ambos   lados de la ecuación y dividir ambos lados  entre x. ¿Qué pasaría en ese escenario? Bueno,   si dividimos a ambos lados entre x podemos  pensar que un enunciado equivalente sería 5 = 6,   y ya sabemos que no existe ninguna x para la cual  5 sea igual a 6, no podemos hacer 5 = 6 o 6 = 5,   ¿cierto? Si suponemos que estos son enunciados  equivalentes y decimos que no existe ninguna x que   satisfaga la segunda ecuación, 5 = 6, entonces  tal vez no exista ninguna x que satisfaga la   ecuación de arriba. Pero esta no es una operación  que preserva la equivalencia, porque, de hecho,   estamos trabajando en un escenario donde x = 0  y estaríamos dividiendo entre 0, así que debemos   tener mucho cuidado cuando dividimos entre  una variable, especialmente si el valor de   la variable que hace verdadera una ecuación es 0.  Entonces, para ser claros, si queremos preservar   la equivalencia por aquí, la forma de resolver  esta ecuación es restar 5x de ambos lados,   como sabemos esta es una operación que preserva  la equivalencia: restamos esta expresión de ambos   lados y nos quedaremos con que 0 = x. Y ahora,  x = 0 y 5x = 6x son enunciados equivalentes, son   ecuaciones equivalentes: cualquier x que haga esto  verdadero hará también esto verdadero, y cualquier   x que haga verdadera la ecuación de arriba también  hará verdadera la ecuación de abajo. Por último,   tal vez me escuchaste decir que si multiplicamos  o dividimos por una constante distinta de 0,   entonces se preserva la equivalencia, y espero  que ya tengas una idea de por qué no es buena   idea dividir entre 0, de hecho el resultado de  dividir entre 0 siempre será una cosa extraña y   es indefinido, pero también lo es multiplicar por  0. Por ejemplo, si tenemos... empecemos por aquí:   2x = 6 y multiplico ambos lados por 0, obtenemos  que 0 = 0 y 0 = 0 es verdadero para toda x 0   siempre va a ser igual a 0, pero el problema es  que el primer enunciado no es verdadero para toda   x, sólo es cierto para x = 3, así que estos no  son enunciados equivalentes, tienen un conjunto   distinto de x que los satisfacen. Por lo tanto,  debes tener mucho cuidado cuando trabajes con   cosas que son 0, podemos sumar o restar 0, aunque  obviamente eso no va a cambiar mucho las cosas,   pero si multiplicamos de ambos lados por  0 tendremos enunciados no equivalentes,   y multiplicar o dividir por variables que  podrían ser 0 también es un juego peligroso.