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Repaso de sistemas equivalentes de ecuaciones

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución o soluciones. Esta artículo repasa cómo saber si los dos sistemas son equivalentes.
A los sistemas de ecuaciones que tienen la misma solución se les llama sistemas equivalentes.
Dado un sistema de dos ecuaciones, podemos producir un sistema equivalente al sustituir una ecuación por la suma de las dos ecuaciones, o mediante la sustitución de una ecuación por un múltiplo de sí misma.
Por el contrario, podemos estar seguros de que los dos sistemas de ecuaciones no son equivalentes si sabemos que la solución de uno de ellos no es solución del otro.
Nota: esta idea de sistemas de ecuaciones equivalentes aparece todo el tiempo en álgebra lineal. Sin embargo, los ejemplos y explicaciones en este artículo se orientan a una clase de álgebra de secundaria.

Ejemplo 1

Nos dan dos sistemas de ecuaciones y nos preguntan si son equivalentes.
Sistema ASistema B
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}12x+9y=73x4y=2\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\3x-4y=2\end{aligned}
Si multiplicamos la segunda ecuación en el sistema B por 3, obtenemos:
3x4y=23(3x4y)=3(2)9x12y=6\begin{aligned} 3x-4y&=2 \\\\ 3(3x-4y)&=3(2) \\\\ 9x-12y&=6 \end{aligned}
Al reemplazar la segunda ecuación del sistema B con esta nueva ecuación, obtenemos un sistema equivalente:
12x+9y=79x12y=6\begin{aligned}-12x+9y=7\\\\9x-12y=6\end{aligned}
¡Iuuuju! ¡Mira! Este sistema es el mismo que el sistema A, lo que significa que el sistema A es equivalente al sistema B.
¿Quieres saber más sobre sistemas de ecuaciones equivalentes? Revisa este video.

Ejemplo 2

Nos dan dos sistemas de ecuaciones y nos preguntan si son equivalentes.
Sistema ASistema B
9x4y=52x+5y=4\begin{aligned}-9x-4y&=5\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
Curiosamente, si sumamos las ecuaciones en el sistema A, obtenemos:
9x4y=5+ 2x+5y=47x+y=1\begin{aligned} -9x-4y&=5 \\ +~2x+5y&=-4\\ \hline\\ -7x+y &=1 \end{aligned}
Al reemplazar la primera ecuación en el sistema A con esta nueva ecuación, obtenemos un sistema equivalente al sistema A:
7x+y=12x+5y=4\begin{aligned}-7x+y&=1\\\\2x+5y&=-4\end{aligned}
¡Y helo ahí! Este es el sistema B, así que el sistema A es equivalente al B.

Ejemplo 3:

Nos dan dos sistemas y nos piden demostrar que no son equivalentes al encontrar una solución de uno que sea solución del otro.
Sistema ASistema B
4x+10y=11x2y=3\begin{aligned}-4x+10y&=1\\\\-1x-2y&=-3\end{aligned}9xy=81x2y=4\begin{aligned}-9x-y&=8\\\\-1x-2y&=4\end{aligned}
Observa cómo los coeficientes de x y y en las segundas ecuaciones de ambos sistemas son los mismos. ¡Sin embargo, los términos constantes en las dos ecuaciones son diferentes!
Cualquier par de valores de x y y que haga que el sistema A sea verdadero hará que B sea falso y viceversa.
Por ejemplo, x, equals, 1, y, equals, 1 es una solución a la segunda ecuación del sistema A, pero no es una solución a la segunda ecuación del sistema B.
El sistema A y el sistema B no son equivalentes.
¿Quieres saber más sobre sistemas de ecuaciones no equivalentes? Revisa este video

Practica

Problema 1
A Elsa y Olaf les dieron un sistema de ecuaciones lineales a resolver. Cada uno de ellos realizó unos pasos que llevaron a los sistemas que se muestran en la siguiente tabla.
Maestro
5, x, plus, 3, y, equals, minus, 1
4, x, minus, 9, y, equals, 8
ElsaOlaf
4, x, minus, 9, y, equals, 815, x, plus, 9, y, equals, minus, 3
9, x, minus, 6, y, equals, 74, x, minus, 9, y, equals, minus, 5
¿Cuál de ellos obtuvo un sistema que es equivalente al sistema del maestro?
Recuerda que dos sistemas lineales son "equivalentes" si tienen la misma solución.
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