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Álgebra 1
Curso: Álgebra 1 > Unidad 6
Lección 4: Sistemas de ecuaciones equivalentes- ¿Por qué podemos restar una ecuación de otra en un sistema de ecuaciones?
- Ejemplo resuelto: sistemas equivalentes de ecuaciones
- Ejemplo resuelto: sistemas no equivalentes de ecuaciones
- Razonar con sistemas de ecuaciones
- Razonar con sistemas de ecuaciones
- Repaso de sistemas equivalentes de ecuaciones
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Razonar con sistemas de ecuaciones
Cuando realizamos operaciones en un sistema de ecuaciones, algunas operaciones producen un sistema equivalente, mientras que otras no necesariamente producen un sistema equivalente. Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones, necesitamos usar operaciones que garanticen la equivalencia. Creado por Sal Khan.
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- No entendi :(. De donde sale ese -2?(1 voto)
- ¿cómo se si son o no sistemas de ecuaciones lineales?(1 voto)
- si ambas ecuaciones lineales al graficarlas tienen un punto que viva entre ellas
y una manera de identificar si no son sistema de ecuaciones es revisar si tienen la mima pendiente y si la tienen es porque no lo son(1 voto)
Transcripción del video
En un video anterior hablamos sobre la noción de
equivalencia en ecuaciones, y la equivalencia es sólo esta noción de que hay diferentes formas de
escribir enunciados equivalentes en álgebra. Y puedo dar algunos ejemplos sencillos, puedo
decir que 2x = 10 o puedo decir que x = 5, estas son ecuaciones equivalentes, ¿por qué lo
son? Porque un valor de x satisface a una de ellas si y sólo si ese valor satisface a la otra,
y puedes verificar que en ambos casos x = 5 es el único valor de x que satisface a ambas. Otro
conjunto de ecuaciones equivalentes es 2x = 8 y x = 4; estas dos son ecuaciones equivalentes:
un valor de x satisface a una ecuación si y sólo si satisface a la otra. En este video vamos a
extender nuestro conocimiento de equivalencia para pensar en sistemas equivalentes, y en realidad,
antes, cuando resolvías sistemas de ecuaciones, realizabas operaciones suponiendo equivalencia,
pero es posible que no lo hayas pensado de esa manera. Así que planteemos un sistema, digamos que
este sistema nos dice que existe un par xy donde 2x + y = 8 y que x + y = 5. Ahora podemos tener
un sistema equivalente si reemplazamos cualquiera de estas ecuaciones con una versión equivalente.
Entonces, por ejemplo, muchos de ustedes, cuando tratan de resolver esto, podrían decir: "Bien, si
esto fuera un 2x negativo, tal vez podría sumar el lado izquierdo", y hablaremos de por qué esta
es una operación que mantiene la equivalencia, pero para obtener un 2 negativo aquí tendrías que
multiplicar esta ecuación entera por 2 negativo. Entonces, si haces eso, si multiplicas ambos lados
por 2 negativo, lo que obtendrás es 2x negativo -2 y = 10 negativo. Esta ecuación y esta ecuación
son equivalentes, ¿por qué?, porque cualquier par xy que satisfaga a una de ellas satisfará a la
otra, o un par xy satisface a una si y sólo si satisface a la otra. Entonces, si ahora pensamos
en el sistema, este sistema donde reescribí esta segunda ecuación, y mi primera ecuación es la
misma, es un sistema equivalente a nuestro primer sistema. Entonces, cualquier par xy que satisface
uno de estos sistemas va a satisfacer al otro y viceversa. Ahora, la próxima cosa interesante que
podrías darte cuenta, y si sólo estabas tratando de resolver esto, ojo: este no es un video
introductorio en la resolución de sistemas, estoy suponiendo que estás familiarizado con el tema,
probablemente hayas visto el método de eliminación donde dices: "Bien, si de alguna manera puedo
sumar el lado izquierdo al lado izquierdo y el lado derecho al lado derecho, las x se cancelarán
y al final me quedaré con las y, y ya hemos hecho esto antes, es intentar despejar y", pero en este
video quiero que pensemos por qué terminas con un sistema equivalente si fueras a hacer eso. Y una
forma de crear un sistema equivalente es mantener mi primera ecuación 2x + y = 8, pero luego tomaré
mi segunda ecuación y sumaré lo mismo en ambos lados. Sabemos que si sumas o restas lo mismo a
ambos lados de una ecuación obtienes una ecuación equivalente, así que voy a hacer eso por aquí, va
a ser algo interesante. Si tienes 2x negativo -2 y = 10 negativo, y lo que quiero hacer es sumar 8
a ambos lados, puedo hacerlo así: sumar 8 en ambos lados, pero recuerda que el sistema establece que
ambas afirmaciones son verdaderas, que 2 x + y = 8 y que 2x negativo - 2y = 10 negativo, entonces, en
lugar de sumar explícitamente 8 en ambos lados, podría sumar algo que es equivalente a 8 en ambos
lados, y conozco algo que es equivalente a 8 con base en esta primera ecuación. Puedo sumar 8 y
puedo sumar 8 en el lado izquierdo, o puedo sumar 2 x + y. Y ahora te pido que pauses el video y te
preguntes: ¿cómo puedo resolver esto?, ¿por qué me dicen que estoy sumando lo mismo en ambos lados?
Porque recuerda que cuando tomamos un sistema, suponemos que ambas ecuaciones tienen que ser
verdaderas. Un par xy satisface una ecuación si y sólo si satisface a la otra. Entonces, aquí
sabemos que 2x + y debe ser igual a 8, por lo que, si estoy sumando 2x + y a la izquierda y estoy
sumando 8 a la derecha, en realidad sólo estoy sumando 8 en ambos lados, y esto preserva la
equivalencia, y cuando haces eso obtienes que 2x negativo y 2x se cancelan y queda y negativo
igual a 2 negativo; y así puedo reescribir esa segunda ecuación como y negativa = 2 negativo. Y
sé lo que estás pensando: cuando resuelvo sistemas de ecuaciones estoy acostumbrado a sumar estos
dos juntos y luego tengo esta ecuación, y esto no es muy riguroso matemáticamente, porque la otra
ecuación sigue ahí, sigue siendo una restricción, a menudo resuelves una y luego la sustituyes
en la otra, pero en realidad ambas ecuaciones están ahí todo el tiempo, simplemente las estás
reescribiendo de manera equivalente. Entonces, una vez más, este sistema, este sistema y este
sistema son equivalentes, cualquier par xy que satisfaga a uno lo satisfará a todos y viceversa.
Y una vez más podemos seguir reescribiendo esto de maneras equivalentes, puedo multiplicar ambos
lados de la segunda ecuación por 1 negativo, eso es preservar la equivalencia, y si hago eso
obtengo 2x + y = 8, no he cambiado la ecuación superior; y en la segunda ecuación, si multiplico
ambos lados por 1 negativo, obtengo que y = 2, de nuevo todos estos son sistemas equivalentes. Sé
que suena muy repetitivo en esto, pero ahora puedo hacer otra cosa para mantener la equivalencia
y al mismo tiempo tener una idea más clara de cuál es este par xy. Si sabemos que y = 2 y sabemos
que esto se cumple en ambas ecuaciones, es decir, se cumple en una y se cumple en la otra, y
suponemos que hay un par xy que satisface a ambas ecuaciones, 2x + y = 8, y además y = 2, y
sabemos que esto se cumple en ambas ecuaciones. Entonces quiere decir que cuando vemos una y aquí
arriba, podemos escribir un sistema equivalente en donde en lugar de escribir y escribimos un
2, porque sabemos que y = 2, y así podemos reescribir esta ecuación superior sustituyendo
2 en lugar de y, por lo que podemos reescribir esto como: 2x + 2 = 8, y = 2. Aquí tenemos
que ambas se cumplen, y, por supuesto, podemos seguir desarrollando esto. Voy a hacer un poco de
espacio. Puedo escribir otro sistema equivalente a este haciendo operaciones que mantengan la
equivalencia de la ecuación superior. ¿Qué pasa si resto 2 en ambos lados de la ecuación superior?
Todavía va a ser una ecuación equivalente y podría reescribirla así, ya que si resto 2 en ambos lados
obtendré 2x = 6. Nota que esta segunda ecuación no ha cambiado: y = 2, entonces hay un par xy
que si satisface a una satisface a la otra y viceversa. Este sistema es equivalente a todos los
sistemas que he escrito hasta ahora en esta cadena de operaciones, por así decirlo, y luego, para la
ecuación superior, una operación que mantiene la equivalencia es dividir ambos lados entre un valor
distinto de 0, y en este caso podría dividir ambos lados entre 2, si divido la parte superior
entre 2 queda x = 3 y y = 2. Y una vez más, esta es una forma diferente de pensarlo: todo
lo que estoy haciendo es reescribir el mismo sistema de manera equivalente, que nos sirva
para encontrar el par xy. En el pasado podrías haber supuesto que podías sumar ambos lados de una
ecuación o hacer este tipo de eliminación o algún tipo de sustitución para simplemente encontrar x y
y, pero realmente estás reescribiendo el sistema, estás reescribiendo las restricciones
del sistema de maneras equivalentes para ser explícito cuál es ese par xy que
satisface a ambas ecuaciones en el sistema.