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Resolver sistemas de ecuaciones por eliminación (y manipulación)

CCSS.Math:
HSA.REI.C.6

Transcripción del video

vamos a seguir trabajando con sistemas de ecuaciones por eliminación sin embargo en esta ocasión vamos a tener que trabajar un poco nuestras ecuaciones antes de que se eliminen las variables es decir vamos a preparar a nuestras ecuaciones antes de que se puedan eliminar pero bueno vamos a escribir nuestras ecuaciones en este caso voy a jugar con 5x menos 10 y en esto igual a 15 y no voy a tomar otra ecuación la ecuación 3x menos 2 james 3 x menos 2 james esto igual a 3 y lo primero que quiero que te des cuenta es que hay varias formas de resolver este tipo de ecuaciones podemos resolverlo por sustitución podríamos graficar lo y resolver el sistema buscando el punto de intersección sin embargo si yo quisiera utilizar el método de suma y resta entonces lo que hay que hacer es sumarle o restarle una ecuación lo mismo de ambos lados y bueno en el vídeo pasado lo que hacíamos era tomarme la parte izquierda de estas dos ecuaciones sumarlas y después tomarme la parte derecha de estas ecuaciones y también sumarlas sin embargo si te das cuenta si yo sumo el resto estas dos ecuaciones no voy a poder eliminar una de estas variables mi resultado va a quedar tanto en términos de x como en términos de entonces qué podemos hacer y bueno las respuestas que vamos a multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante de tal manera que después de hacer esto se puedan cancelar por eliminación y bueno lo primero que debes hacer es elegir una variable para cancelarla así que vamos a decir que quiero eliminar al ayer para eliminar el aiem date cuenta que aquí tenemos 10 y abajo tenemos 2 james así que déjenme primero copiar la ecuación que tenemos arriba 5 x menos 10 igual a 15 y ahora fíjate en esta ecuación de aquí abajo si lo multiplicamos por alguna constante y bueno hay que saber qué constante habrá alguna forma que cuando nosotros multiplicamos por esta constante y la sumamos a esta ecuación que tenemos de amarillo se pueda eliminar la variable james y bueno la respuesta es que sí porque fíjate aquí tengo un 2 bien de hecho tengo menos 2 james para que se cancele tendría que ser 10 positivo porque date cuenta que en la ecuación de amarillo tenemos un -10 james entonces para que se cancele abajo hay que quedar 10 positivo y para que la ecuación de abajo se convierta en un 10 de positivo hay que multiplicarlo por menos 5 y ojo vamos a multiplicar toda la ecuación tanto el lado izquierdo como el lado derecho para que así no se altere la ecuación no se altere la igualdad así que vamos a hacerlo menos 5 x 3 x es menos 15 x menos 15 x después nos queda menos x menos más es justo lo que queríamos 5 x 2 10 10 james es justo lo que queríamos y al final me queda 3 x menos 5 lo cual es menos 15 y está perfecto porque ahora ya tenemos menos 10 + dj y si nosotros sumamos estas dos ecuaciones entonces se va a cancelar todo lo que tiene que ver con que justo esa era la idea para nosotros utilizar el método de suma y resta o el método de eliminación es decir lo que queríamos era cancelar una de estas variables y si sumamos estas dos ecuaciones se va a cancelar todo lo que tiene que ver con james y que me quedaría 5 x menos 15 x pues esto es lo mismo que menos 10 x no olvides que aquí teníamos un menos y por lo tanto 5 15 10 10 x menos 10 más 10 justo era lo que queríamos que se cancelarán entonces estas dos se van se hacen 0 y entonces solamente me queda menos 10 x del lado izquierdo de esta ecuación mientras que del lado derecho me queda 15 menos 15 lo cual es 0 y bueno si de aquí queremos despejar la x lo que voy a hacer es dividir ambos lados de la ecuación entre menos 10 me va a quedar que x es igual a cero entre menos 10 pero sea entre menos 10 es 0 y date cuenta como ya habíamos encontrado una ecuación con solamente una incógnita y con esto logramos encontrar la x el valor de x x igual a 0 y una vez que ya tengo este valor de x lo que voy a hacer es sustituirlo en la primera ecuación para encontrar el valor de james y me queda 5 x 0 se van y entonces me queda que menos 10 james es igual a 15 ya sé que x vale 0 y entonces divido a ambos lados entre menos 10 voy a obtener valor de james estos dos se van queda que james es igual a 15 entre menos 10 lo cual es menos tres medios - tres medios y perfecto ya tengo el valor para xy para que solucionaran esta ecuación x igual a 0 y la menos 3 medios o dicho de otra manera el punto cero con menos tres medios es el punto de intersección de estas dos rectas o son los valores de la solución de estas dos ecuaciones y bueno pues vamos a ver si también cumple la segunda ecuación así que vamos a sustituir tres por cero menos dos por qué pero lleva de menos tres medios menos dos por menos tres medios esto tiene que ser igual a 3 3 por 0 0 - por menos me da más y estos dos se van y solamente me queda 30 más 3 estrés y perfecto la comprobación de la segunda ecuación si quedan y muy bien ya con esto tenemos la comprobación ahora lo que quiero hacer es resolver otro problema que tenga que ver igual con la eliminación o con suma y resta pero que no sea directa que tengamos que multiplicar por alguna constante para que entonces podamos resolver el sistema así que pues déjame poner otro par de ecuaciones y no voy a tomar las siguientes ecuaciones 5 x + 7 james igual a 15 y después voy a poner aquí abajo con otro color 7 - 3 james esto lo voy a ser igual a 5 y quiero resolver este sistema de ecuaciones ahora date cuenta que si lo vamos a resolver por eliminación no podemos sumar las ecuaciones de una manera inmediata porque entonces nos eliminaría ninguna de las dos variables y entonces es cuando se me ocurre multiplicar por una constante ya sea la ecuación de arriba o ya sea la ecuación de abajo o ambas y de hecho si te das cuenta en esta ocasión tenemos que multiplicar ambas pero antes de eso recuerda que lo que tenemos que hacer es elegir una de las dos variables para cancelar en este caso la yes negativa que sería mucho más fácil cancelarla sin embargo vamos a trabajar con la equis para hacerlo mucho más divertido así que quiero cancelar la equis y para cancelar la equis podría multiplicar cualquiera de estas dos ecuaciones por una fracción de tal manera que al volver la negativa se cancela da con este 7x o con este 5x sin embargo para no trabajar con fracciones lo cual no va a ser nada grato lo que voy a hacer es buscar el mínimo común múltiplo entre 5 y 7 para que así pueda ir guiando a ambas ecuaciones a ese mínimo común múltiplo que por cierto es 35 y bueno si yo lo que quiero 35 x 35 tenemos que multiplicar la ecuación de arriba por 7 para que me quede 7 por 5 35 x y la de abajo por 5 pero por 5 negativo de tal manera que al multiplicar menos 5 por 7 me quede menos 35 x y ya con esto voy a poder eliminar la variable x y entonces voy a lograr tener una ecuación con solamente una incógnita y muy fácil de resolver si lo hago por el método de eliminación ojo esto es muy común cuando utilizas el método suma y resta cruzan los coeficientes para que así se puede eliminar una variable así que pues vamos a hacerlo si multiplicó la ecuación de arriba por 7 que me va a quedar 7 por 5 pues es 35 35 x entonces vamos a notarlo 35 x y después nos queda 7 x 7 7 por 7 es 49 49 y y por último queda 7 por 15 7 por 15 es lo mismo que 70 más 35 que es 105 ojo recuerda que hay que multiplicar toda la ecuación por 7 tanto el lado izquierdo de la igualdad como el lado derecho es la igualdad y bueno pues vamos a hacer lo mismo para la ecuación de abajo voy a multiplicar la x menos tanto del lado izquierdo como del lado derecho y que me va a quedar menos 57 x 35 x menos x menos me da más 5 x 39 15 15 más 15 m y del otro lado me queda 5 x menos 55 x menos 5 es menos 25 y ahora sí date cuenta que ya tenemos el mismo coeficiente al lado de la equis y no sólo eso 1 es positivo y el otro es negativo por lo tanto cuando yo sume estas dos ecuaciones se va a eliminar todo lo que tiene que ver con x que es justo lo que queríamos para resolver esta ecuación por el método de suma y resta así que vamos a sumar estas dos ecuaciones de tal manera que se elimine todo lo que tenga que ver con x y dice 35 x menos 35 x se van 49 y más 15 james esto es lo mismo que 54 más 10 64 y 64 y james esto es igual a 105 menos 25 550 100 menos 20 es 80 y aquí ya tengo una ecuación con solamente una incógnita muy fácil de resolver si divido ambos lados entre 64 me queda que james es igual a 83 64 64 y 64 1 solamente me queda del otro lado 80 entre 64 que por cierto le podemos sacar octava tanto arriba como abajo si yo divido 80 entre 8 me va a dar 10 y 64 entre 8 y 8 por lo tanto no quedaría 10 sobre 8 10 sobre 8 que por cierto ambos tienen mitad entonces esto es lo mismo que cinco cuartos ya tengo el valor de james el valor de ya que resuelve ambas ecuaciones simultáneamente es igual a cinco cuartos pero ojo no olvidemos que no he acabado el problema ya tengo el valor de jets sin embargo todavía no tengo el valor de x así que para sacar a x tengo que elegir una de estas dos ecuaciones y vamos a elegir la segunda ecuación así que vamos a sustituir el valor de james me queda 7 x menos 3 james esto es igual a 5 pero en lugar de james voy a poner el valor de james llevarles cinco cuartos por lo tanto voy a sustituir ayer por cinco cuartos que es mi solución en esta ecuación y me queda 7 x menos tres por cinco cuartos esto es igual a 57 x menos 15 cuartos esto es igual a 5 no esperen esperen esperen que estoy haciendo adquieres borrar de nuevo todo esto porque aquí me suena que algo está mal dice tres por cuatro no no no no esperen si estoy bien si estoy bien aunque estoy haciendo es 3 por 5 15 entre 4 y 15 cuartos esto es igual a 57 x menos 15 cuartos es igual a 5 y ahora sí voy a sumar 15 cuartos de ambos lados de la ecuación entonces más 15 cuartos más 15 cuartos del lado izquierdo estos dos se cancelan y solamente me quedan 7 x 15 cuartos y menos 15 cuartos se van y del lado derecho me queda 5 más 15 cuartos pero 5 es lo mismo que 20 cuartos entonces lo voy a escribir como 20 cuartos más 15 cuartos y 20 cuartos más 15 cuartos déjenme bajar un poco la pantalla esto es lo mismo que 35 cuartos entonces 7 x es igual a 35 cuartos y ahora voy a multiplicar todo por un séptimo o de otra manera voy a dividir todo entre 7 entonces vamos a dividir esta parte entre 7 o lo que es lo mismo multiplicado por un séptimo y de tal manera que estos dos se van y solamente me queda x mientras que el lado derecho de 35 se puede dividir entre 75 y entonces solamente me queda cinco cuartos x es igual a cinco cuartos y es igual a cinco cuartos guau los dos valores son los mismos es decir que la solución de este sistema de ecuaciones es x igual a cinco cuartos y es igual a cinco cuartos o dicho otra manera la intersección de estas dos rectas es el punto 545 cuartos y bueno vamos a achicar oa comprobar en la primera actuación que realmente si llegamos al resultado correcto dice cinco por equis pero x vale cinco cuartos cinco por cinco cuartos más siete porque pero lleva a los cinco cuartos más siete por cinco cuartos esto tiene que ser igual a 15 vamos a ver si cinco por cinco cuartos en lo mismo que 25 cuartos 7 por 5 35 entonces me queda 35 cuartos y 25 cuartos más 35 cuartos es lo mismo que 60 cuartos lo cual es 15 perfecto que es justo lo que queríamos acabamos de comprobar en la primera ecuación y bueno tú puedes verificar en la ecuación de abajo sin embargo no es tan necesario porque justo de aquí salió que x vale 5 cuartos así que nos vemos en el siguiente vídeo