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¿Por qué podemos restar una ecuación de otra en un sistema de ecuaciones?

CCSS.Math:
HSA.REI.C.5

Transcripción del video

esta vez tenemos un problema realmente interesante aquí tenemos una balanza en la cual le hemos puesto tres masas estas dos rojas que hemos denominado con x tienen la misma masa esta tercera que le hemos llamado y que tiene una masa distinta es importante pensar que no necesariamente son iguales xy pero ahora veamos la situación lo que vemos en la balanza es que la suma de las x ilife están en equilibrio con estos 8 kilogramos que tenemos del otro lado lo primero que te voy a preguntar es si puedes escribir una relación matemática que establezca esta relación que toda la masa que está de este lado es exactamente igual a la masa que está del otro lado observemos nuestra situación con más cuidado del lado izquierdo la masa total son dos masas equis y un alley osea lo puede escribir como 2x más una y haber voy a escribirlo más hacia el centro para que sea más claro tenemos 2 x + y esa es la masa total del lado izquierdo 2 x más la masa total del lado derecho es 8 1 2 3 4 5 6 7 8 o sea que es igual a 8 observamos que la balanza está en equilibrio o sea la masa total del lado izquierdo es igual a la masa total del lado derecho y podemos usar el signo igual ahora quiero preguntarte utilizando sólo la información que tenemos aquí y podemos hacer algo para resolver para x oye hay algo que podamos hacer parece que tenemos poca información o sea si yo tomara de este lado y quitara la y entonces para mantener el equilibrio tendría que del otro lado quitar algo equivalente allí pero como no sé qué es de la misma manera algebraica mentes y yo restará de ambos lados entonces ahora del lado derecho voy a seguir teniendo un menos y lo mismo pasaría con la equis o sea como x depende de iu y de x no puedo eliminar con facilidad a cada una por suerte para nosotros tenemos suficientes cubos x 7 entonces voy a tomar un cubo x y ponerlo en la otra balanza y también voy a poner un cubo y en la balanza y ahora voy a poner tantos cubos uno necesite yo del lado derecho hasta encontrar el punto de equilibrio es obvio que si no pongo nada del otro lado entonces la balanza no estaría en equilibrio pero voy a poner tantos cubos sean necesarios para llegar al punto de equilibrio y observo que llegamos al punto de equilibrio cuando puse 5 cubos de un kilogramo del lado izquierdo entonces ahora te vuelvo a preguntar y podríamos expresar de una manera matemática esto que tenemos aquí que tenemos una x 1 y un 5 de este lado entonces tenemos una equis más una voy a volver a escribirlo más hacia el centro tenemos una equis más g y aquí tenemos un 5 podemos observar que la masa total de ambos lados es la misma y entonces podemos otra vez usar el signo igual y otra vez tomando esta información aislada y pues no sé cuánto vale ni x ni ye o sea no sé si es 1 o x es 4 o al revés pero algo interesante que podemos observar es que ahora utilizando toda la información de las dos balanzas que aquí tenemos podremos saber el valor de x y el de g y me gustaría darte unos segundos para que pienses cómo podríamos abordar esta situación vamos a pensarlo de esta manera si ahora yo sé que x es igual a 5 entonces de este lado el cuántos cubos yo tendría o mejor dicho cuánta masa yo tendría que quitar de este lado a partir de lo que ya conozco ya sabemos que x es igual a 5 kilogramos entonces yo solo tendría que retirar 5 kilogramos de este lado y obviamente un equis y 1 y de este lado y eso revelaría el valor de x pero ahora mejor vamos a pensarlo en términos algebraicos en esencia al retirar de este lado de la balanza una equis yo nadie yo estoy restando a xy haber entonces voy a escribirlo un menos no mejor lo voy a escribir de esta manera como menos una x más y ahora que tengo que hacer del lado derecho bueno si ya sabemos que x es igual a 5 entonces tendré que retirar 5 kilogramos del lado derecho de la balanza y todo esto lo puedo realizar solo porque tengo la información que me proporcionó la segunda balanza y entonces lo que voy a hacer aquí es restar 5 porque es lo que sabemos de este lado vamos a restar 5 entonces si vamos a restar una equis y una y de este lado déjame escribirlo de esta manera y vamos a distribuir el signo menos en las dos y entonces sería lo mismo que poner menos x menos d veamos qué pasará del lado izquierdo entonces si yo tengo 2x y le quitó uno pues nada más me queda una equis si yo tengo un aire y quito una y entonces ya no hay yes y visualmente lo podríamos ver de este lado de la balanza sólo tenemos una x ahora vamos del lado derecho entonces como quitamos x más de que vale 5 vamos a restar 5 porque eso ya lo sabíamos entonces 8 menos 5 nos va a quedar igual a 3 claro 8 menos 5 es igual a 3 y entonces utilizando toda la información que nos dieron estas dos balanzas ahora podemos ver que x vale 3 ahora vamos con otra pregunta bueno ya fuimos capaces de obtener el valor de la masa de x podremos ser capaces de determinar el valor de la masa de y entonces podemos regresar otra vez a las balanzas y en este caso esta será más útil si sabemos que x es igual a 5 y también sabemos ahora qué x vale 3 entonces reemplazaremos a x por 3 y vamos a reescribir esto como tres más y si tres más es igual a cinco y ahora podríamos decir vamos a quitar tres de ambos lados o sea si quito tres del lado izquierdo tendré que quitar tres del lado derecho y así lo tengo que hacer para conservar el equilibrio y que sería equivalente a restar tres de ambos lados de mi ecuación entonces de este lado sólo me queda allí y del otro lado me queda 12 y entonces obtuvimos que x es igual a 3 kilogramos y que ya es igual a 2 kilogramos ahora te toca verificar que utilizando estas masas la masa total de ambos lados es la misma y en este caso podemos que comprobar que dos veces 3 es igual a 6 más 2 entonces la masa total del lado izquierdo es 8 y está en equilibrio con el otro lado que vale 8 y 3 + 2 es igual a 5