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Álgebra 1

Curso: Álgebra 1 > Unidad 6

Lección 5: Cantidad de soluciones a sistemas de ecuaciones
Matemáticas
Álgebra 1
Sistemas de ecuaciones
Cantidad de soluciones a sistemas de ecuaciones
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Repaso sobre el número de soluciones a sistemas de ecuaciones

Google Classroom
Un sistema de ecuaciones lineales usualmente tiene una sola solución, pero a veces puede no tener ninguna (rectas paralelas) o un número infinito (misma recta). En este artículo revisamos los tres casos.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de un medio en un medio. Una gráfica de una recta pasa por los puntos un medio negativo, tres y tres, dos. Una gráfica de otra recta pasa por los puntos cero, cero y uno, uno. Estas dos rectas se intersecan en un valor de x entre dos y tres y un valor de y entre dos y tres.
Una solución. Un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución cuando las gráficas se intersecan en un punto.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de un medio en un medio. La gráfica de una recta pasa por los puntos uno, uno y medio y tres, uno. La gráfica de otra recta pasa por los puntos uno, dos y medio y tres, dos. Estas dos rectas nunca se intersecan.
Sin solución. Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución cuando las gráficas son paralelas.
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de un medio en un medio. La gráfica de una recta pasa por los puntos cero, uno y medio y tres, dos. La gráfica de otra recta pasa por los puntos cero, uno y medio y tres, dos. Estas rectas se superponen completamente.
Soluciones infinitas. Un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones infinitas cuando las gráficas son exactamente la misma recta.
¿Quieres aprender más sobre el número de soluciones de sistemas de ecuaciones? Revisa este video.

Ejemplo de un sistema con una sola solución

Nos piden encontrar el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
y=−6x+83x+y=−4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
Escribámoslas en forma pendiente-ordenada al origen:
y=−6x+8y=−3x−4\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
Ya que las pendientes son distintas, las rectas deben intersecarse. Estas son sus gráficas:
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno medio en un medio. La ecuación y igual a seis negativo x más ocho está graficada pasando por los puntos cero, ocho y uno, dos. La ecuación tres x más y igual a cuatro negativo está graficada pasando por los puntos cero, cuatro negativo y uno, siete negativo. Estas rectas se intersecan en un valor que está debajo de la gráfica.
Dado que las rectas se intersecan en un punto, hay una sola solución al sistema de ecuaciones que representan.

Ejemplo de un sistema sin solución

Nos piden encontrar el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
y=−3x+9y=−3x−7\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
Sin graficar estas ecuaciones, podemos observar que ambas tienen una pendiente de minus, 3. Esto significa que las rectas son paralelas. Dado que sus ordenadas al origen son diferentes, sabemos que estas rectas no están la una sobre la otra.
No hay solución para este sistema de ecuaciones.

Ejemplo de un sistema con soluciones infinitas

Nos piden encontrar el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
−6x+4y=23x−2y=−1\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
Curiosamente, si multiplicamos la segunda ecuación por minus, 2, obtenemos la primera ecuación:
3x−2y=−1−2(3x−2y)=−2(−1)−6x+4y=2\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
En otras palabras, las ecuaciones son equivalentes y comparten la misma gráfica. Cualquier solución que funcione para una de las ecuaciones también funcionará para la otra, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones.

Practica

Problema 1
  • Corriente
¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones lineales?
y=−2x+47y=−14x+28\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
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