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Tiempo actual: 0:00Duración total:6:01

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones: método algebraico

CCSS.Math:
8.EE.C.8
,
8.EE.C.8a
,
8.EE.C.8b
,
HSA.REI.D.10
,
HSA.REI.D.11

Transcripción del video

esta vez me preguntan cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales y me dan estas dos ecuaciones que tengo aquí ahora para llegar a la respuesta hay dos formas de hacerlo la primera sería hacerlo de una manera gráfica y ver que cada una de estas ecuaciones me dibuja una recta y bueno podríamos tener dos rectas que fueran la misma recta y en ese caso tendríamos una infinidad de soluciones o podremos tener dos rectas que fueran paralelas con lo cual pues nunca se intersectan y eso quiere decir que no tenemos soluciones o en su dado caso podemos tener dos rectas que se intersectan en un punto lo que quiere decir que tenemos exactamente una solución sin embargo lo que quiero hacer en este vídeo es trabajar estas dos ecuaciones de una manera algebraica para llegar a la solución y veas qué fácil es lo primero que voy a hacer es fijarme en estas dos ecuaciones e intentar cancelar una de estas dos variables así que para eso voy a tomar la primera ecuación y la voy a copiar exactamente igual acá abajo tengo 2 x + 4 james 2x 4 james es igual a 15 a 15 y ahora vamos a fijarnos en nuestra segunda ecuación sin embargo si yo lo que quiero es que se cancele la equis estaría muy bien que en la parte de abajo tuviéramos un menos 2 x porque 2 x menos 2 x esto se cancelaría por lo tanto voy a multiplicar a toda la ecuación de abajo por menos 1 y que me va a quedar menos 1 por 2 x es menos 2x y después tengo menos 1 por 4 y es menos 4 y menos 4 y james y por último me va a quedar menos 1 por 13 lo cual va a ser menos 13 menos 3 y entonces se sumó el lado izquierdo de estas dos ecuaciones y el lado derecho de estas dos ecuaciones para encontrar una nueva ecuación que me va a quedar bueno pues darte cuenta de que 12 x menos 2 x estos dos se cancelan me va a quedar 0 que es justo lo que queríamos y después tengo más 4 y menos 4 y bueno esto también es cero así que podría escribir aquí más cero pero puede sumar cero es lo mismo entonces mejor lo voy a poner así y del lado derecho me va a quedar lo siguiente 15 menos 13 es 2 positivos bueno pues date cuenta de que hemos llegado a una ecuación bastante extraña que dice que es 0 es igual a 2 y bueno pues pensarlo como que esto no tiene nada de sentido porque no existe ningún valor x para el cual 0 sea igual a 2 y es que 0 nunca va a ser igual a 2 no importa que x 7 tomes nunca podrás encontrar un par xy tal que haga que 0 sea igual a 2 si las equis y jesse desaparecen de esta ecuación no hay forma de que esto sea cierto por lo tanto no tenemos soluciones en solución y es que darse cuenta si nosotros gráfica mos estas dos ecuaciones vamos a tener dos rectas paralelas es decir tenemos la misma pendiente pero distinta intersección en el eje y por lo tanto van a ser rectas que nunca se van a interceptar y esto quiere decir que no tenemos solución ahora hagamos otro ejemplo más para eso déjame bajar un poco de la pantalla y vamos a trabajar con el siguiente sistema bien ahora tenemos este sistema de ecuaciones y qué te parece si hacemos exactamente lo mismo que hicimos arriba así que para eso voy a copiar exactamente igual la ecuación de arriba y tengo 14 x menos 7 bien esto es igual a 21 y ahora me voy a fijar en la ecuación de abajo y voy a intentar cancelar x y para eso necesito que esté 2 x se convierta en menos 14 x por lo tanto voy a multiplicar por menos 7 y me va a quedar menos 7 x 2x bueno eso es menos 14 x 14 x y después tengo menos 7 x menos james esto es más 7 y muy bien y después del lado derecho me va a quedar menos 7 por 3 lo cual va a ser menos 21 así que hagamos lo mismo voy a sumar el lado izquierdo de estas dos ecuaciones y el lado derecho para obtener mi nueva ecuación 14 x menos 14 x estos dos se van menos 7 y 7 y estos dos también se van por lo tanto del lado izquierdo me voy a quedar solamente con 0 mientras que del lado derecho voy a tener 21 menos 21 lo cual también es 0 y en este momento tú puedes decir que aquí tenemos también una ecuación muy extraña sin embargo hay una ligera diferencia a la ecuación que teníamos arriba recuerda en la parte de arriba teníamos 0 es igual a 2 y acá abajo tengo que 0 es igual a 0 y bueno ahora la pregunta sería para qué par de x y se cumple que es 0 es igual a 0 date cuenta hay una gran diferencia porque no importa que x oye te tomes de hecho aquí no tenemos involucrados ni a x nadie pero siempre va a ser igual a 0 por lo tanto esto siempre se cumple lo que quiere decir que tenemos una infinidad de soluciones porque siempre vamos a llegar a que 0 es igual a cero tenemos una infinidad de soluciones no importa que x 7 tomes y esto es porque tenemos la misma línea recta si todas gráficas vas a darte cuenta de que son la misma recta aunque algebraica mente no parecen la única diferencia que tenemos una versión escalada la una de la otra si multiplicamos la de abajo por 7 date cuenta que llegamos a esta misma ecuación y por lo tanto son la misma recta y como son la misma recta tenemos una infinidad de soluciones ok hagamos otro problema más y para eso voy a bajar un poco más mi pantalla y ahora trabajemos con este de aquí para tratar de encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales charlotte da varios pasos correctos que conducen a la ecuación menos 4 es igual a menos 8 cuántas soluciones tiene este sistema de ecuaciones lineales y bueno ya ni es necesario ver este sistema que tenemos aquí estás de acuerdo porque ya tenemos el dato de que él llegó a que menos 4 es igual al menos 8 pero esto nunca es cierto estás de acuerdo menos 4 nunca va a ser igual al menos 8 como esta igualdad nunca es verdadera entonces tenemos el caso de no tener soluciones y es que recuerda estamos hablando de dos rectas que son paralelas y por lo tanto nunca se intersectan eso quiere decir que no tenemos soluciones porque no existen ningún padre x james que nos dé que menos 4 sea igual a menos 8 esto nunca es cierto o que hagamos un ejemplo más voy a bajar la pantalla y ahora tengo este de aquí dice para tratar de encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales tranco da varios pasos correctos que conducen a la ecuación 2x es igual a 16 cuántas soluciones tiene este sistema de ecuaciones lineales bueno ahora fíjate justo en esta parte que tenemos aquí ahora draco llegó a menos 2 x es igual a 16 esto quiere decir que podemos obtener un valor para x si divido todo entre menos 2 me va a quedar que x va a ser igual a menos 8 estás de acuerdo y si ahora sustituyó en cualquiera de estas dos ecuaciones x es igual a menos 8 puedo obtener un valor para ella en este primer caso me va a quedar 3 x menos 8 lo cual es menos 24 menos 24 7 james es igual a 6 o de aquí que vamos a tener si a éste lo paso para acá me va a quedar 30 y me quedaría la ecuación menos 7 y igual a 30 estás de acuerdo y si divido todo entre menos siete me quedaría que es igual a menos 30 séptimos oyó puede sustituir justo aquí me quedaría 5 x menos 8 lo cual va a ser menos 40 menos 7 james esto es igual a menos 10 a este lo pasó para el otro lado me va a quedar que menos 7 y es igual a menos 10 más 40 lo cual es 30 llegamos a lo mismo es decir que en este caso tenemos exactamente una solución la solución es el par menos ocho coma menos 30 séptimos estás de acuerdo muy bien ahora hagamos un último ejercicio para eso voy a bajar mi pantalla para acá y dice para tratar de encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales le voy a dar varios pasos correctos que conducen a la ecuación 0 es igual a cero cuántas soluciones tiene este el sistema de ecuaciones lineales y una vez más si llegamos a que 0 es igual a cero entonces no es necesario ni siquiera ver este sistema de ecuaciones cuando tengo que 0 es igual a 0 esto siempre es cierto por lo tanto tenemos una una infinidad de soluciones esto siempre es cierto y por lo tanto la respuesta es una infinidad de soluciones