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Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución: monedas

CCSS.Math:
8.EE.C.8
,
8.EE.C.8c
,
HSA.CED.A.2
,
HSA.CED.A.3
,
HSA.REI.C.6

Transcripción del video

Como regalo de cumpleaños, Zoe le dio a su sobrina una alcancía bancaria electrónica, la cual, muestra la cantidad total de dinero en la alcancía así como la cantidad total de monedas. Después de depositar cierta cantidad de monedas de 5 centavos y de 25 centavos, la alcancía mostró lo siguiente, el dinero es 2 pesos, el número de monedas son 16. ¿Cuántas monedas de 5 centavos y cuántas de 25 centavos puso Zoe en la alcancía? Y bueno, lo primero que vamos a hacer es definir variables, así que voy a decir sea "n" igual al número de monedas de 5 centavos y sea "q" igual al número de monedas de 25 centavos, perfecto. Ahora, lo primero que sé, es que la cantidad de monedas que voy a tener son la cantidad de monedas que tengo de 5 centavos más la cantidad de monedas que tengo de 25 centavos, es decir, "n" más "q". "n" más "q" es la cantidad de monedas que tengo en mi alcancía, que por cierto, me dice mi alcancía que son 16, el número de monedas que tengo son 16 y por lo tanto "n" más "q" es igual a 16. Ahora, aquí ya tenemos la primera ecuación pero para sacar la segunda ecuación, en lo que nos tenemos que fijar es en la cantidad de dinero que tenemos con las monedas de 5 centavos, es decir, 0.05 por "n" y a eso sumarle la cantidad de dinero que tenemos en las monedas de 25 centavos, por lo tanto, 0.25, si estamos hablando de pesos o 25 centavos por la cantidad de monedas que tenemos de 25 centavos, es decir por "q". Y bueno, de hecho hasta podemos hacer un ejemplo, si "q" vale 4 y "n" vale 0, entonces tendríamos 4 por .25 lo cual es 1 y 0 por 0.5, pues esto no me daría nada, entonces aquí tendríamos 1 peso solamente. Sin embargo, lo que sí sé es que tiene que ser igual a 2 pesos, estos tiene que ser igual a 2 pesos porque es justo lo que me está diciendo mi alcancía electrónica, que la cantidad de monedas que yo tengo de 5 centavos multiplicado por lo que valen, por 5 centavos, más la cantidad de monedas que yo tengo de 25 centavos, multiplicado por lo que valen las monedas, es decir, 25 centavos, esto tiene que ser igual a 2 pesos y aquí ya tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas y con dos ecuaciones, por lo tanto vamos a intentar resolver esto pero por el método de sustitución. Así que aquí en la primera ecuación, voy a despejar a "q" y "q" es igual a 16 menos "n", de aquí estoy pasando para acá solamente restando "n" de ambos lados de la ecuación y como yo sé que "q" vale igual a 16 menos "n", entonces lo que voy a hacer es sustituir el valor de "q" aquí adentro, en lugar de esta "q", voy a poner lo que vale la "q" en mi primera ecuación. Y recuerda que esto es cierto porque se tienen que cumplir ambas ecuaciones simultáneamente y entonces me queda, 0.05 por "n" más 0.25 por "q", pero recuerda, vamos a sustituir a "q", entonces en lugar de "q" voy a poner 16 menos "n", 0.25 por "q" pero "q" vale 16 menos "n", eso es lo que nos dice la primera ecuación y esto tiene que ser igual a 2 pesos, ok, ahora date cuenta que ya tengo una ecuación con solamente una incógnita y ahora voy a distribuir el 0.25 y dice, 0.25 por 16 y 0.25 por "-n", 0.25 por 16, es lo mismo que .5 por 8 que es lo mismo que 4 por 1, es 4 y después, 0.25 por "-n" es lo mismo que -0.25 por "n" y esto tiene que ser igual a 2 pesos. Ahora, lo que voy a hacer es restar de ambos lados de la ecuación 4, de tal manera que yo pueda sumar estos dos que tienen que ver con "n", "0.05n" menos "0.25n" pues esto es lo mismo que... a ver, aquí tengo 5 centavos y aquí tengo -25 centavos, pues esto me quedaría -20 centavos entonces de estos dos, de una vez, si los reduzco me queda "-0.2n"... "-0.20n"... -0.2... "-0.20n"... y bueno, vamos a seguir ya que redujimos todo lo que tenía que ver con "n" y no olvidemos a este cuadro, entonces más 4 esto tiene que ser igual a 2 pesos... a 2.00, ahora si yo resto 4 de ambos lados de la ecuación, voy a empezar a despejar a "n" entonces -4, -4 aquí, ¿y entonces qué me queda? Del lado izquierdo estos dos se van y solamente me queda "-0.20n"... "-0.20n" esto es lo mismo que 2 menos 4, lo cual es -2. ¡Muy bien! y ahora para sacar el valor de "n" lo que voy a hacer es dividir ambos lados de la ecuación entre -0.2, entre -0.2 de este lado ó -0.20 pero los dos son lo mismo y del otro lado también tengo que dividir entre -0.2, recuerda que los 0 a la derecha después del punto decimal no cuentan y por lo tanto, me queda -2 entre -0.2, y ahora sí, "n" es igual a -2 entre -0.2, aquí menos entre menos me da más y 2 entre 2 me da 1 y después recorro el punto decimal y me queda 10. "n" es igual a 10 y ya puedo sacar "q" de manera muy rápida. Aquí dice que "q" es igual a 16 menos "n" y por lo tanto "q" es igual a 16 menos 10, lo cual es 6. "n" vale 10 y "q" vale 6, es decir, que la cantidad de monedas que tenemos de 5 centavos son 10 y la cantidad de monedas que tenemos de 25 centavos tienen que ser 6, perfecto . ¡Ya llegamos a la solución! Y vamos a ver si realmente se cumplen las dos ecuaciones, claramente estas dos suman 16, 10 más 6 me da 16, esto es muy fácil, ahora si yo quiero sacar la cantidad de dinero que tenemos, pues tendría que multiplicar éste por 5 centavos, lo cual me daría pues 50 centavos ó 0.50 pesos, 0.50 pesos y 6 por .25 es lo mismo que 1.50 pesos o dicho de otra manera, 1 peso con 50 centavos y si ahora sumamos las dos, claramente esto me da 2 pesos. Y por lo tanto estamos bien.