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Resolver ecuaciones gráficamente (1 de 2)

Sal resuelve la ecuación e^x=1/[x(x-1)(x-2)] al tomar en cuenta la gráfica de y=e^x además de la gráfica de y=1/[x(x-1)(x-2)]. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

vamos a resolver el siguiente problema que tiene que ver con estimar en qué punto se intersectan estas dos gráficas ahora si te das cuenta el grave problema de esto es que tenemos dos gráficas que no son tan lineales ni son cuadráticas son gráficas que son completamente no lineales tenemos gráficas muy raras fíjate bien a continuación se muestran las gráficas de l de x que es esta de azul que es el logaritmo es natural de 3 x el logaritmo natural de 3x y si te das cuenta ésta se comporta como un logaritmo natural así que parece ser que es bastante cierta y rd x ere de x que es esta de aquí x cuadrada menos x más 1 entre x es todo esto de aquí y si te das cuenta esto tampoco es nada lineal ni nada fácil de estimar estima las dos soluciones visibles de la ecuación logaritmo natural de 3x es igual a rd x qué es x cuadrada menos x 1 todo eso entre x dentro de 0.1 es decir dentro de dos décimos y lo primero que quiero que veas es que cuando nosotros trabajamos con funciones que son fáciles de manejar no se alguna cuadrática alguna kubica que se intersecta con una línea recta o algo así no es tan difícil encontrar las soluciones si utilizamos un poco de álgebra o tal vez estimamos la solución cerca de la calculadora o algo así sin embargo en esta ocasión tengo dos ecuaciones completamente no lineales tengo un sistema de ecuaciones no lineales y por lo tanto no se ve nada fácil encontrar el punto de intersección entre estas dos curvas y de hecho es justo lo que nos piden en el punto en el que rx y lx voy a poner primero que es con este color ld x que es justo esta de aquí esta es l de x de x ok estoy buscando en el punto en el que l x es exactamente igual es exactamente igual que esta función de aquí que por cierto es r de x o dicho de otra manera cuando estoy buscando que las dos funciones sean iguales estoy buscando el punto en donde se intersectan realmente lo que estamos buscando es este punto de aquí y este punto de aquí los dos puntos donde se intersectan y bueno como tengo funciones que no son lineales de una manera algebraica se ve muy difícil encontrar para que x se satisface esta ecuación de aquí así que la mejor manera o lo que te recomiendo para encontrar los puntos de intersección de estas dos curvas es utilizar la calculadora y estimar cuál es la solución esta igualdad que tengo aquí para eso qué te parece si utilizamos una tabla voy a poner en esta tabla por aquí la de x ok vamos a ver qué es lo que pasa o cómo se comporta el x cerca del punto en donde estamos buscando la intersección por otra parte voy a poner aquí a rd x aquí también voy a escribir a rd x ok y bueno lo que voy a hacer variar es a x por lo tanto aquí voy a poner a x y justo así va a estar mi tabla así que déjame hacer una tablita por aquí vamos a hacer una tabla y para esto voy a utilizar este color ok aquí va a estar mi tabla y voy a bajar por acá algo más o menos así porque además me piden dos puntos entonces vamos a hacerlo para dos puntos por lo tanto va a ser un poco larga esta tabla algo más o menos así y voy a ir variando x entre un rango de decimos que es lo que me piden entre un rango de 0,1 voy a ir variando x cerca de los puntos de intersección para ver en qué punto se aparecen más estas y en el punto en decimos en el que se parezcan más estas dos curvas va a ser mi solución así que para esto qué te parece si empezamos a fijarnos en un punto cercano cercano a este punto que tengo aquí de rojo para ver qué tan lejos estoy del punto de intersección así que bueno este punto se ve muy cercano a uno por lo tanto vamos a probar con uno con uno para empezar o espera y déjame cambiar la herramienta así que déjame cambiar para acá ahora tú sabes cuánto es el logaritmo natural de 3 x cuando x vale 1 es decir el logaritmo natural de 3 bueno tal vez te lo sepas de memoria pero al menos yo no me acuerdo por lo tanto voy a traer aquí la calculadora y vamos a trabajar con ella voy a trabajar aquí con la calculadora y vamos a ver primero qué es lo que me sale de el logaritmo natural de 3 y después de esta función evaluado en 1 por lo tanto vamos a empezar el logaritmo natural que está justo aquí el logaritmo natural de 3 cuánto es bueno pues esto es lo mismo que 1.0 861 ok vamos a apuntar lo antes de que se nos olvide 1.098 6 1 punto o espera déjame cambiar de color déjame cambio de color y es l de x ok entonces es con este color me queda 1.098 6 vamos a ver qué diferencia hay con rd x 1.098 6 vamos a tener otra vez aquí a la calculadora a donde están aquí esta 1.098 6 y ahora vamos a hacer lo mismo con rx y lx es toda esta función de que arriba entre x pero x vale 1 así que lo podemos calcular de hecho de una manera muy fácil 1 al cuadrado menos 1 esto es 0 + 1 entre 1 a eso está muy fácil hasta podemos prescindir de la calculadora porque eso es lo mismo que uno déjenme tenerlo aquí esto es lo mismo que uno que uno por lo tanto fíjate que cuando x vale 1 l de x que es esta gráfica de azul vale 1.098 6 y rd x que es esta gráfica en esta gráfica de verde que tenemos aquí vale 1 ahora si te das cuenta en este punto nos está ocurriendo lo siguiente r tx está más abajo está más abajo que lo que vale l xl de x está un poquito más arriba por lo tanto no es el punto de intersección nos estamos acercando pero todavía no encontramos el punto de intersección de hecho se ve claramente aquí en esta gráfica que está un poquito antes que 1 así que qué te parece si probamos con y vamos a intentarlo con 0.8 así que tomemos otro nuevo valor 0.8 y vamos a ver cuánto vale ld x y redex vamos a ver saquemos la calculadora y primero voy a calcular el logaritmo natural 3 por 0.8 por 0.8 ok y cuánto es esto a 0.87 54 87 54 87 54 87 54 0.87 54 ok ahora veamos qué es lo que pasa con r de x r tx ok vamos a la calculadora que está justo por aquí perdón olvidaba que estaba por aquí y podemos escribir toda esa función con 0.8 y que me quedaría bueno vamos a tener cuidado con los paréntesis me va a quedar 0.8 elevado al cuadrado que está justo aquí ok menos menos aquí está al menos menos 0.8 uno más uno todo esto todo esto por eso lo atrape entre este paréntesis todo esto es dividido entre 0.8 y esto va a ser igual a ok 1.0 51.05 vamos a ver qué pasó tengo aquí 1.051 por espera y punto 05 si te das cuenta en este caso se invirtieron los papeles en este caso estamos am y déjenme cambiar de color en este caso pasa lo siguiente estamos viendo que cuando x vale 0.8 ld x l de x es ahora menor es un poco menor que lo que vale hoy que el color déjame cambiar a un color más llamativo a este l de x es un poco menor que lo que vale ahora rd x rx está arriba de lo que vale ld x y si te das cuenta cambiaron los papeles por lo tanto debe de haber algún punto intermedio a que se aproxime más entre estos dos o dicho de otra manera el punto de intersección está entre estos dos ahora como a nosotros nos piden que estimemos la solución dentro de los decimos bueno pues ya está podemos concluir que la solución es 0.9 que es el punto que está justo en medio de los dos 0.9 es el punto que está en media y ya acabaríamos porque estoy segurísimo que es el punto que mejor estima esta solución ahora sí que es lo podríamos comprobar tú y yo con la calculadora así que vamos a hacer lo vamos a sacar la calculadora que estaba justo por aquí y primero calculemos el logaritmo natural de 3 por punto 9 ok y esto es igual a 0.9 932 0.99 32 así que voy a ponerlo con este color 0.9 932 ok y vamos a ver qué pasa con r de x r de x a donde está en mi calculadora está por acá ok rx me sale de evaluar y hay que poner paréntesis punto 9 al cuadrado esto menos donde están menos menos punto 9 todo esto más 1 y todo esto dividido entre punto 9 lo voy a dividir entre punto 9 y esto es lo mismo que 1.011 11 entonces voy a ponerlo a esto es lo mismo esto es lo mismo que 1.01 1 y date cuenta que estamos muy cerca muy pero muy pero muy cerca del punto de intersección mejoramos de estar aquí a estar aquí y aquí estamos mucho más cerca de las dos funciones que lo que estamos aquí y como nuestros resultados nos lo piden en decimos podemos asegurar que al menos el primer punto de intersección donde más nos acercamos o donde mejor estimamos la solución en donde estas funciones son iguales o el punto de intersección es justo este de aquí 0.9 así que ya tenemos uno de ellos ahora vamos a estimar el otro y para eso déjame separar que estos dos son ejercicios distintos ok bueno es el mismo problema pero estamos hablando de dos puntos distintos y ahora empecemos a estimar cerca de este punto de aquí que si te das cuenta estamos entre 2 y 3 y creo que es como 2.8 vamos a intentar con 2.8 o 2.9 a 2 qué pasa cuando tengo 2.8 así que bueno de la misma manera voy a traer aquí mi calculadora ok dónde está aquí está voy a traer aquí mi calculadora y vamos a hacer lo mismo el logaritmo natural de 3 2.8 ok esto es igual a 2.12 82 entonces vamos a escribirlo 2.2 82 2.12 82 ok y ahora vamos a ver qué es lo que pasa con r de x cuando x vale 2.8 entonces deja mente de la calculadora 2.1 282 puntos 2.2 82 y vamos a calcular para 2.8 r tx a 2.8 elevado al cuadrado ya esto le quito 2.8 y a esto le sumó 1 ok y todo esto lo voy a dividir entre 2.8 y esto es lo mismo que 2.15 71 2.15 71 y déjenme escribirlo aquí 2.15 71 71 ok y ahora vamos a ver qué es lo que está pasando lo que está pasando es lo siguiente el dx es más pequeño pero por muy poco que heredé x el dx es más pequeña ok se ve justo aquí que herede x pero por muy muy poco así que nos tenemos que fijar en un punto hacia la izquierda ahora tan te cuenta que estamos muy pero muy pero muy cercanos así que qué te parece si lo intentamos con 2.7 2.7 y vamos a hacer lo mismo así que saquemos la calculadora ok y logaritmo natural de 3 por 2.7 y vamos a ver cuántos esto 2.0 918 2.0 918 2.0 918 2.0 918 ok y vamos a ver qué pasa con rd x vamos a ver qué pasa con r de x y en red de x es y abrimos paréntesis 2.7 elevado al cuadrado menos menos 2.7 ya esto le sumamos 1 y todo esto lo dividimos entre 2.7 a ok esto es lo mismo que 2.0 703 o que nos vamos acercando 2.070 3am con este color 2.070 3 ok estamos muy pero muy pegados date cuenta que ahora pasa justo lo contrario esto quiere decir que cuando yo me fijo en 2.7 y déjenme cambiar de color a este color cuando yo y el valor de x por 2.7 encuentro que l de x es a mayor ld x es ligeramente mayor que estamos justo de aquí que herede x rx es un poco menor por lo tanto el punto de intersección estaría entre ellas 2 ahora como nos piden que estimemos las soluciones hasta decimos ya no me puedo acercar más porque si me acerco más estaría estimando la solución en centésimos y yo lo que quiero es en decimos por lo tanto me tendré que quedar con alguna de estas dos o 2.8 o 2.7 y si te das cuenta la más cercana es o no se ve tan claro así que qué te parece si sacamos la calculadora y vemos cuál es la más cercana de las 2 am aquí me tengo que tomar la diferencia de punto 15 71 71 - a menos 12 82 y punto entonces volvemos punto 12 82 ok aquí es 0.02 89 y si nosotros vemos en 2.7 hay que tomar me la diferencia de puntos 0 9 18 - punto 07 03 ok y esto es 0.02 15 por lo tanto está más cercano esté 2.7 que esté por poquitito así que vamos a verlo el más cercano es este de aquí aunque el punto de intersección esté entre estos dos y de igual manera aquí si te das cuenta no es exacto el punto de intersección sin embargo en esta función r tx sigue siendo mayor que el de x aquí r tx sigue siendo ligeramente mayor que herede x estamos aquí y por lo tanto podemos asegurar que el punto de intersección con completa esa actitud está entre 0.9 y 1 pero bueno si lo que queremos y lo que tenemos que poner de respuesta cuál es el número que más se acerca hasta decimos bueno ya tenemos que es 0.9 y 2.7 aquí están las dos mejores estimaciones de en el punto de intersección de estas dos curvas o del valor de x en donde el de x es igual a rd x nos vemos en el siguiente vídeo