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Demostración del teorema del residuo polinomial

Transcripción del video

en este vídeo haré la demostración del teorema del residuo para polinomios y para que no resulte tan abstracta empezaré revisando el ejemplo que hicimos cuando presentamos el teorema del residuo para polinomios vimos que sí teníamos tres equis cuadrada menos 4 x + 7 y lo dividimos entre x -1 obteníamos 3x -1 y un residuo de seis y nos dimos cuenta que este residuo pues el orden de este término es menor al orden que tenemos aquí en el denominador y todo esto ocurrió después de haber hecho la división larga de este numerador entre el denominador de tal manera que en este ejemplo podríamos haber escrito esto que hicimos aquí como nuestra fx voy a ponerlo por aquí nuestra fx que es 3x cuadrada menos 4 x + 7 es igual al producto de estos dos términos al producto de este cociente por el denominador esto es igual al producto de este cociente el cociente que es 3 x menos uno que multiplica al denominador que multiplica a x menos uno y esto aún no está completo pues cuando multiplicas estos dos términos no tienes estoy acá hay que sumarle a esto el residuo esto más el residuo rr no mejor voy a poner directamente el valor del residuo 6 esto de aquí es análogo a lo que teníamos cuando hacíamos las divisiones en aritmética así si tuviéramos la división de digamos voy a mostrarte directamente la analogía si tenemos por ejemplo la división de 25 entre cuatro bien sabemos que 25 entre cuatro es igual a 66 por 424 lo cual resta más de 25 para obtener el residuo es uno entonces 25 lo podemos escribir de la siguiente manera 25 es igual a 6 por 425 es igual a 6 x 4 y a eso le sumamos el residuo más uno esto que hicimos aquí es exactamente lo mismo nada más que aquí lo estamos haciendo con expresiones algebraicas aún no entraba la demostración lo único que querido hacer es aclarar arte que cuando nosotros dividimos entre x menos 13 x cuando menos 4 x +7 obtuvimos estoy aquí es decir 3 x 4 - 4 x + 7 es igual a 3 x menos uno por x menos uno más el residuo +6 escribamos esto de manera abstracta este término que tenemos aquí es nuestro polinomio fx que es igual a 3 x menos uno que en este caso es el cociente a este cociente le voy a llamar pude x déjame ponerlo con otro color este de aquí es q de x es un polinomio que le voy a llamar judeh x fx es igual acude x que multiplica a x menos uno pero lo voy a llamar x - ah pues lo estoy haciendo en general así es que cure x que multiplica a x menos a a lo cual le voy a sumar el residuo r aquí sé que el residuo es un número es una constante pues sé que su orden es menor a x menos uno a x menos a que es un polinomio de orden 1 con lo cual tiene que ser un polinomio de orden cero es decir una constante esto que hemos escrito aquí entonces es verdad en general para cualquier polinomio fx dividido entre cualquier x menos a vamos a escribir eso aquí esto es verdadero para todas fx para todas fx y para todas x - a ahora bien qué va a suceder cuando nosotros evaluaremos efe cda que ocurre al evaluar efe en a en la expresión que acabamos de escribir y que sabemos que siempre es verdadera veámoslo tenemos que f dea aquí voy a usar otro color para resaltar la a en la cual estamos evaluando la función entonces fd a fedea es igual acude a cu evaluada en a que multiplica a a x más bien a que multiplica a menos a y creo que ya te estás dando cuenta a que vamos a llegar que multiplica a menos a más r y ahora qué es lo que tenemos aquí a menos a es cero no me importa cuánto vale q dea porque lo va a multiplicar por 0 así es que todo este término se cancela con lo cual llegamos a que fd a etea va a ser igual a rr y ya la tenemos esta es la demostración del teorema del residuo para polinomios cualquier polinomio que al dividirlo entre x menos a obtiene es el cociente q de x y el residuo r puedes escribir lo de esta manera una vez que el polinomio se tiene escrito de esta manera al evaluarlo entonces en a vamos a obtener que el polinomio evaluado en a coincide exactamente con el residuo y este es el teorema del residuo para polinomios y así hemos concluido con una de las demostraciones más simples de algo que en un principio parece como mágico